異常磁気能率のmathematicaでの計算について

質問

異常磁気能率の計算をmathematicaでやりました。使用したのは、ここで教えていただいた「場の量子論2巻」式(11.3.1)です。目標は、-G(0) = e^2/(8π^2) = 0.001161を得ることです。前にも引用したfp[]を使用しまた。２通りやってみましたが、答えが導けません。

プログラムは、下記の通りです。
質問１．下記のどこが悪いのでしょうか？
質問２．∫d^4 k というのは、馴染みが無いのですが、kの４重積分？なのでしょうか？
Integrate[Integrate[Integrate[Integrate[y1,k],k],k],k]としますと、エラーになります。
元のｙ１、ｙ２の計算が悪いのか？この積分の意味を間違っているのか？どちらでしょうか？

(*異常磁気モーメントの計算 1*)
y1=(e**gm[up[p]]**(2**Pi)^4)**(-I**(-I**(sl[q]-sl[k])+m[p])/((2**Pi)^4**(q-k)^2+m[p]^2-I**ε))**gm[up[u]]**(-I**(-I**(sl[p]-sl[k])+m[p])/((2**Pi)^4**(p-k)^2+m[p]^2-I**ε))**e**gm[p]**(2**Pi)^4**(-I/(2**Pi)^4**(1/(k^2-I**ε)))
(*異常磁気モーメントの計算 2*)
y2=(e*gm[up[p]]*(2*Pi)^4)*(-I*(-I*(sl[q]-sl[k])+m[p])/((2*Pi)^4*(q-k)^2+m[p]^2-I*ε))*gm[up[u]]*(-I*(-I*(sl[p]-sl[k])+m[p])/((2*Pi)^4*(p-k)^2+m[p]^2-I*ε))*e*gm[p]*(2*Pi)^4*(-I/(2*Pi)^4*(1/(k^2-I*ε)))
ya1=Integrate[Integrate[Integrate[Integrate[y1,k],k],k],k]
ya2=Integrate[Integrate[Integrate[Integrate[y2,k],k],k],k]

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

私はMathematicaのことは知りません。*と**の違いも分かりません。しかし*と**は同じではないのでしょうから計算 1*)と計算 2*)のどちらでも良いということはないでしょう。また行列AとBの積はA.Bであらわすようですが、上の式は行列のかけ算になっているのでしょうか。((2*Pi)^4*(q-k)^2+m[p]^2-I*ε))では(2*Pi)^4が(q-k)^2にしかかからないが、正しくは(2*Pi)^4が((q-k)^2+m[p]^2-I*ε))にかかるようにしなければならないなんてことを私に指摘させないで下さい。積分される関数はk0,k1,k2,k3の４つの変数の関数です。これらの変数について-∞から∞まで積分します。つまり∫d^4 k　は
　∫d^4 k = ∫[-∞～∞]dk0∫[-∞～∞]dk1∫[-∞～∞]dk2∫[-∞～∞]dk3
を意味します。これはワインバーグでもその他の本でも書いてあると思います。
Mathematicaのみで異常磁気能率の計算をするのは困難です。http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/435/ か　http://it.arXiv.org/abs/hep-ph/9812357　などに引用されているプログラムを使われた方が良いでしょう。

お礼

毎度お返事頂きまして深謝致します。

＞((2*Pi)^4*(q-k)^2+m[p]^2-I*ε))では(2*Pi)^4が(q-k)^2にしかかからないが、正しくは(2*Pi)^4が((q-k)^2+m[p]^2-I*ε))にかかるようにしなければならないなんてことを私に指摘させないで下さい。

細部に渡るご指摘本当にありがとうございます。以後もっと気をつけます。

＞積分される関数はk0,k1,k2,k3の４つの変数の関数です。これらの変数について-∞から∞まで積分します。つまり∫d^4 k　は
　∫d^4 k = ∫[-∞～∞]dk0∫[-∞～∞]dk1∫[-∞～∞]dk2∫[-∞～∞]dk3
を意味します。これはワインバーグでもその他の本でも書いてあると思います。

よくわかりました。恥ずかしながら、この積分の意味をご教示頂くまで全く知りませんでした。∫[-∞～∞]の計算を、mathematicaで出来るか否かは、検討してみます。

＞http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/435/ か　http://it.arXiv.org/abs/hep-ph/9812357　などに引用されているプログラムを使われた方が良いでしょう。

１つのプログラムにこだわる必要は無いのですね。ご教示頂いたプログラムも試してみます。
では、また計算した結果をご報告致しますのでよろしくお願いいたします。

補足

まず、FeynmanParameter[] and trace[]のtutorialを読んだのですが、下記がわかりません。ご教示頂きましたら幸いです。

質問１．

In[10]:= Simplify[ FeynmanParameter[(k[a]+j[a])p[a]k[b]/(((k-j)^2-m[h]^2)^2
(k k-m[t]^2)^2 (j j-m[t]^2)^2),j,k] ]

は、

(slash[k]+ slash[j]) slash[p] slash[k]/(((k-j)^2-m[h]^2)^2
(k k-m[t]^2)^2 (j j-m[t]^2)^2)
という式を、slash[k]としてｋとｊについて、γ行列を０から３まで加算させると考えて良いでしょうか？
この解釈が正しいと、
なぜ、,p が抜けているのか？
なぜ、k[b]だけが、k[a]ではないのか？わかりません。

質問２．

ワインバーグの本P２５７　式１１．３．１　の中に、γup ρ　と　γdown ρ 行列があるのですが、このFeynmanParameter[]では、これをどのように表現すれば良いのでしょうか？

質問３．

ワインバーグの本P２５７　式１１．３．１　の中のεは、偏光のことですが、計算式ではpやkと同様にそのままεとして扱えば良いでしょうか？

追伸

Mathematicaで、―無限大から無限大までの計算は
たとえば、
NIntegrate[Exp[-x^2],{x,-Infinity,Infinity}]
で可能であることがとりあえずわかりました。

回答No.1

imoriimori

物理ではなくてMathematicaのご質問でしたら、
たとえば下記URLでメーリングリストに登録したり、
あるいはMathematicaディーラに照会する手がありますが。
もっとも、その場合、このように長い式ではなくて、ピンポイントに絞った問い合わせにする必要がありますが。

参考URL：

http://www.jp-mathusers.org/news/index.html

お礼

お返事ありがとうございます。
MathematicaのMLには、入会しておりたまに利用させて頂いていますが、ここに掲載しております質問内容はmathematicaの使用方法等ではなく、物理の問題になると思いますので、MLから、「ここに質問する内容ではない。」旨の返答があるものと思われます。
たとえば、数学のみを専攻してMathematicaをご使用しておられるMLの方には、なんのこっちゃさっぱりわからん状況になると思います。
ピントはずれの質問に対して、寛大で物理の知識のある方から、ひよっとして回答があるかもしれませんが、あまり期待できませんので、控えさせて頂きます。
Mathematicaディーラに照会する手も、同様だと思います。