div(電位Ｖ) の 計算過程、に 就いて_その２

質問

お教え下さい
初歩的な質問で、重ね重ね 恐縮至極なのですが、
よろしく お願い致します

極座標系で、点電荷からｒ離れた位置での電位の、
divＶ (Ｖ は ベクトル)を求める場合、
極微小体積を、＝(r^2 sinθ Δθ Δφ)とし、

r位置の床面での流入量を、＝r^2 Ｖr(r,θ,φ) sinθΔθΔφ、
(r+Δr)位置の、天井面からの流出量を、
＝(r+Δr)^2 Ｖr((r+Δr),θ,φ)sinθΔθΔφ、
とした時に、先ず上下面:r方向での流出入成分 に関しては、
(1／r^2){(r+Δr)^2 Ｖr((r+Δr),θ,φ)sinθΔθΔφ
- r^2 Ｖr(r,θ,φ) sinθΔθΔφ}／Δr …式1

とし、これを極微小体積で割って、 Δr→0 と 持ってゆけば、
＝(1／r^2){(r^2)(∂/∂r)Vr(r,θ,φ) + 2rVr(r,θ,φ)} …式2

と導き出される、と言う所までは、何とか出来る のですが、次の、

＝(1／r^2)(∂／∂r){r^2 Ｖr(r,θ,φ)} …式3

になる、とありまして、これに至る計算経緯が 解らないのです

式2の{ }内の第2項: 2rVr(r,θ,φ) を、何うしたら 消せるのでしょうか？
式2から式3に至る詳しい計算経緯を お教え下さい
( 尚、θ、φ方向に就いても 同様な事で導き出せないのですが、
今回は これは 問いません )

重ね重ねなれど、宜しくお願い申し上げます
＿ akqsp拜 __

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

まず、「電位」はスカラーであってベクトルではありません。したがってdivergence＝発散は定義できませんので、ご注意ください。しいて言うならVは「電場」でしょうか？

>式2の{ }内の第2項: 2rVr(r,θ,φ) を、何うしたら 消せるのでしょうか？

消したのではありません。積の微分にまとめたのです。逆に微分してみれば明らかですね？

∂/∂r (r^2 Vr) = ∂r^2/∂r Vr + r^2 ∂Vr/∂r = 2r Vr + r^2 ∂Vr/∂r

お礼

yokkun831様

適切なご回答、有難う御座いました
積の微分に纏めた、とは 全く気付きませんでした
本当に 有難う御座いました

これからも 愚問を提出しるやに 思われますが、
宜しく ご教示の程を お願い申し上げます
本当に 有難う御座いました akqsp 拜