1次同次の生産関数を偏微分すると0次同次となる理由について

質問

1次同次の生産関数に関する質問です。

生産関数は規模に関して収穫不変、すなわち1次同次である時
任意のt＞0について
F(tK,tL)=tF(K,L)　　…(1) が成立しているとします。
関数F(K,L)をKに関して偏微分したものをFk(K,L)と表すことにします。

この式の両辺をKについて偏微分すると
tFk(tK,tL)=tFk(K,L) …(2)であり
この式の両辺をtで割ると
Fk(tK,tL)=Fk(K,L)　 …(3) となるので
(1)式をKについて偏微分すると(3)のように0次同次となると言える。

という記述を参考書で見たのですが(2)式の左辺がどのように導かれた
のか分かりません。

F(tK,tL)をKについて偏微分したら
Fk(tK,tL)とはならないのでしょうか？

私の偏微分に関する理解が足りないものと思われますが御回答頂けたら
幸いです。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

>関数F(K,L)をKに関して偏微分したものをFk(K,L)と表すことにします。

関数 Fk は 関数 F をその「一番目の変数」で偏微分したものと定義されています。関数にとって重要なことはその形（あるいは機能 ＝ 文字通り function）なのであって、その変数名ではありません。また、ここで Fk は２文字で一つの関数名であり、Fk の代わりに G などとしてもよいものです。つまり、Fk となっているからといって、k という特定の文字で偏微分するという意味ではありません。

>F(tK,tL)をKについて偏微分したら

∂F(tK,tL)/∂K = [∂F(tK,tL)/∂(tK)]t = t Fk(tK,tL)。

ここで、結果を関数 Fk で表すためには「一番目の変数」tk で偏微分する必要があります。

例：
F(K,L) = 2K + L
とします。これを K で偏微分すると
Fk(K,L) = 2。
このとき
∂F(tK,tL)/∂K
= ∂(2tK + tL)/∂K
= 2t
= t * 2
= t Fk(tK,tL)
≠ Fk(tK,tL)。

お礼

＞∂F(tK,tL)/∂K = [∂F(tK,tL)/∂(tK)]t = t Fk(tK,tL)

この発想はありませんでした!

最後の
= t * 2
= t Fk(tK,tL)
のところが疑問なのですが
2=Fk(K,L)ではなく
2=Fk(tK,tL)と出来る意味が今一つ分かりません。

しかし、迅速な御回答に感謝致します。

回答No.2

noname#185706

>2=Fk(K,L)ではなく
>2=Fk(tK,tL)と出来る意味が今一つ分かりません。

Fk(K,L) = 2
は関数 Fk を表す式ですが、その右辺には K も L も現れません。つまり変数 K, L がどんな値をとっても関数 Fk の値は常に 2 なのです（Fk は定数関数）。よって、
Fk(tK,tL) = 2
とも書けるわけです。

お礼

御親切に素早い御回答に大変感謝致します。
おかげさまで数式に関する理解を深めることが出来ました。

私にとっての盲点のような発想には驚かされます。

また御縁がありましたら宜しくお願い致します。

本当にどうもありがとうございました。