背理法と対偶証明の違いについて

質問

背理法と対偶による証明は同じと私は考えています。しかし、インターネットを含み、世間では違うというのが定説かのようです。

　従って、違うとお考えの方に、その理屈と根拠を教えて頂きたいのです。

回答No.5

kabaokaba

なんか疲れてきたからそろそろ逃げます（苦笑）
んーー。。。宗教論争になってきそう．
たぶん，お互いの根本的な立脚点が違うんだと思うので
逃げるよ．私ディジタル回路には興味ないし．

＞この式(￢ψ → ￢φ)→(φ → ψ)は(￢ψ → ￢φ)←(φ → ψ)と同値なので、
いや，だからなんでなんですか？
一般にA->BとB->Aは同値じゃないでしょう．
今「同値」だというなら，この式では同値であるという
「証明」が必要ですよ．
＃実際は「二重否定の除去」ですけど

＞この前半の式(ψ → ￢φ)∧(ψ → φ)は何ですか。
＞(ψ → φ)の証明に使うためですね。
ちがうよ．
そもそも証明したい命題は「￢ψ」でしょう．
これを証明するために
ψを仮定すると，
φと￢φがでてきた．
そしたら，トートロジー
((ψ → ￢φ)∧(ψ → φ)) → ￢ψ
を使って、めでたく「￢ψ」でしょう．

＞((ψ → ￢φ)∧(ψ → φ))は展開すると￢ψです。従って￢ψ⇒￢ψを示すだけなので当然トートロジーです。ご存知でしたか

そうそう．トートロジー．
よかったよかった・・これを計算で示すのは
タイプするのが面倒かなと思ってた．
あなたがいう「展開」ってのが「命題論理での証明」ですよね．
この展開の途中で「対偶」使いますよね．
つまり，「対偶」を使って証明したわけですよ．
定理ですよ，万歳！
このトートロジーを「背理法」というわけです．

命題論理の公理系から，延々と展開して
でてくる命題論理の定理は「トートロジー」でしかないのです．
けどそれが大事で，したがって，命題を構成するパーツの命題の
真偽に関係なく，推論として成り立つ「正しい推論」ですね．

((ψ → ￢φ)∧(ψ → φ)) → ￢ψ

っていう式が
トートロジー（ψとφの真偽にかかわらず常に真）
なんだから
ψ → ￢φ
と
ψ → φ
が示されたならば
(ψ → ￢φ)∧(ψ → φ)
がでてきて，
＃ここは，A, BからA∧Bを導出できるってあれ
めでたく合意が得られた「トートロジー」によって
￢ψ
がでてくる
＃これはAとA→BからBが導出できるってあれ
これってまさに背理法．

でわ

補足

御気の毒ですが、貴方は全く論理学の知識がありませんね!!
「一般にA->BとB->Aは同値じゃないでしょう」とは頭大丈夫ですか。そんなの書いていませんよ。

　立脚点が違うのではなく、知識レベルが違い過ぎるようです。

　他人におこがましくも教えようというからには、いい加減な理屈だけ並べて逃げてはだめです。この辺も論争の相手だった方によく似ています。

知りもしない数学の項目だけ羅列して、・・・他の問題に転嫁しよと・・・これも良く似ているのが不思議です。
　同一人物でしょうか。KSさんですか。

　ご参考に下記式のトートロジー性の証明を書いてあげます。対偶の式くらいはご自分でどうぞ。

　 (A⇒￢B)∧(A⇒B)⇒￢A≡T
≡(￢A∨￢B)∧(￢A∨B) ≡(￢A∨￢B)∧(￢A) ∨(￢A∨￢B)∧(B)
≡￢A￢A∨￢A￢B∨￢A B∨￢BB≡￢A∨￢A￢B∨￢A B∨0
≡￢A∨￢A(￢B∨ B) ≡￢A∨￢A・1≡￢A
∴ (A⇒￢B)∧(A⇒B)⇒￢A≡(￢A⇒￢A)≡T
　こんなの簡単でしう。