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背理法と対偶証明の違いについて

2010/02/09 23:17

B-jugglerの回答

B-juggler
ベストアンサー率30% (488/1596)

2010/02/24 18:28 回答No.23

確認作業に近いと思うのですが、念のために。例の式は、知らなかったんですよね・・・。　＃だからうまく出せなかったんだろうけれど言われてみれば、そうかなぁ？とも思えるし、「だから何？」って気もするんですよね。なので、今ここでは保留にさせてください。これはまたちょっと後にしましょう　すいません先に素数の話を。命題が変わっているので引用してきますよ。～～～～～《素数は無限集合の証明》 A={全素数の集合:2,3,5,・・・,Nn・・・}、 maxA=Nnであるとする。(1) B=Aの個数(濃度) n=∞である、と定義する。証明課題: A⇒Bになる。背理法の仮定で￢Bつまりn=有限(n＜∞)とし、２×３×５×７×・・・×Nn=Mnと置けばMn +1=Mmは素数でありNn＜Mmとなるが、Aの定義maxA=Nnに矛盾する。故に￢B⇒￢A≡A⇒B ～～～～～～とりあえずここまでのことを。途中に番号を付加しています。(1)だけです。重箱の隅をつつくようなことは辞めて、ゆっくり行きますね。　＃Ｎｎって、(1)の時はまだ、既定できませんね・・・。　＃背理法を取れば既定できますが。素数の集合が有限だと、背理法を使うと＞２×３×５×７×・・・×Nn=Mnと置けばMn +1=Mmは素数ここまでは問題ありませんよ。次も大丈夫。＞　Nn＜Mmとなるがここも大丈夫。次がちょっと？＞　Aの定義maxA=Nnに矛盾する。ここがちょっとまずいんですよ。　Ａは素数の集合でしたよね。有限の素数集合となっています。ところが、Ｍｍは素数ですね。と、言うことはＭｍが「素数でかつ、有限の素数集合　に入っていない」と言うことですよね。これをもって、　ただの（￢Ａ）としていいものかどうか？　って言う疑問がでてきませんか？素数だけども、外にある状態でしょう？素数全体の集合を有限だと仮定をしました。ここで思い違いをなさってはいけませんよ。ゆっくりね。　￢Ｂ　だけを既定しているわけではありませんよね￢Ｂを既定すると、自動的に素数全体の集合が有限だと既定できますね。そこで、改めて、Ｍｍについて考えて見ましょう。Ｍｍは素数ですから、素数の集合には入るはずです。ところが、Ｎｎ＜Ｍｍ　なので、有限とした素数集合には入っていませんよね。ここが相反する帰結（矛盾って言っていいのかな？）になっていますねゆっくりゆっくり。素数を有限と取りました。そうしたら、有限の外に、また素数が出てきました。何かが間違えているんではないか？素数を有限としたことが間違いかな？こういう結論がでてくるんです。つまりは、背理法をやってみた式￢（Ａ⇒Ｂ）　⇔　（Ａ∧￢Ｂ）　これに反するだけですよね。　ここから素数が出てきてしまったから。＞　故に￢B⇒￢A≡A⇒B これは強引にかんじられませんか？￢Ｂ⇒￢Ａ　と言い切ってしまって、大丈夫でしょうか。『外側に出たものも、素数ではありますから、単純に￢Ａとは言い切れないんです』あるいは、『』　の主張ではなくても、￢Ｂ　と取ったときに、Ａも変わりますね。Ａは無限から有限に変わりますね。ならば　￢Ａとしてもいいのかもしれません。とすれば、対偶法で帰結できることは、Ａ⇒Ｂですから、上のような説明は必要ありませんね。　どんな命題についても成り立ちますから。背理法の途中で、対偶を取るのは問題ありませんが、この場合は、￢Ｂと取ったときに、Ａも何らかの形で変わっていますよね。その状態で、￢Ａと取っていいものかどうか？ここには余地が残るのではないでしょうか。この主張、これは分かっていただけると思います。これが今回の肝です。ひょっとすると、例の式になるのかな？とチラッと思いましたが、私ももう少し考えて見ます。ゆっくり行きましょう。後半部分ですが、これは気持ちよく眠れますよ。～～～２×３×５×７×・・・×Nn=Mnの次の素数をこの式で考えると・・・２×３×５×７×・・・×Nn×(Mn +1)+1=Mn×Mm +1=Mとなるが、２×３×５×７×・・・と具体的数から分かる通り、MmとMの間には多くの数が在りMn×Mm +1が素数かどうかは不明である。Mnはn→∞(nがいくら大きくなって)でもMが素数であると前提すれば循環論法になり、前提しなければ、全ての素数を取り出して掛け算が可能かどうかは不明になる。ここにこの証明方法の疑問点がある。具体例として、Mn=２×３×５=30とする。Mm=Mn +1=30+1=31は素数である。前記式で次の素数を考えると、M=Mn×Mm＋１=30×31+1=931となる。この前の素数31が出たときには7,11,13,17,19,23,29が飛び越されている。ところが、この931÷7=133で飛び越した素数7で割りきれるので、素数ではないのである。～～～～＞　２×３×５×７×・・・×Nn=Mnの次の素数をこの式で考えると・・・　この式から、次の素数を求めるわけではありませんから、何の問題も無く、申し訳ないですが、この式から考える必要はありません。　むしろ、この式から考えてしまうと、M=Mn×Mm＋１　これが素数になるとは限りません。　＃ちょっとここぼかします。なる場合もあるかもしれない。おっしゃるとおりですね。Ｍ＝Ｍｎ×（Ｍｎ＋１）＋１　＝Ｍｎ＾２＋Ｍｎ＋１　(2) 　＃この計算式であっていますか？　確認してください。この式は素数を作り出す式ではないです・・・。ぼかしておいて良かった、例外がありますね。Ｍｎ＝２，６　このとき、Ｍ＝７，４３　で、素数ですね。後まだ他にもあるかもしれない。次の素数を探すのは、単純にふるいにかける作業になります。メルセンヌ数は有名ですが、その間は全部コンピュータでチェックしているそうです。これは確か、私一目で分かるといったところではないでしょうか？　＃ついでなので書いておきましょう。「この作業では素数が得られない」（これは例外がありました）「間に素数が出てくるのであれば、それがどう言った素数で、　個数がいくつ、など　全く分からない」　この二つが一目で分かります。 (2)式が頭に浮かぶと、反則なんですが、見えます。これを本気で検証しようとすると、スーパーコンピュータで何日もかかって、素数を列挙していかないと、おそらく人間で無理な作業です。素数の無限性の証明は何だかんだ言って、やはり難しいな～。ここはほんとに学生さんもつまずくんですよね＾＾；

質問者

お礼 2010/02/25 18:24

確認作業に近いと思うのですが、念のために。例の式は、知らなかったんですよね・・・。・・・・・・・・・・　なので、今ここでは保留にさせてください。 ●これはどの式の事ですか? ・・・・・先に素数の話を。 ●数論の専門と言う方に、数論に興味のない私があまり議論しても意味ないでしょう。命題が変わってばいるので引用してきますよ。～～～～～《素数は無限集合の証明》 A={全素数の集合:2,3,5,・・・,Nn・・・}、 maxA=Nnであるとする。(1) B=Aの個数(濃度) n=∞である、と定義する。証明課題: A⇒Bになる。 ●￢(A⇒B)≡(A∧￢B)から達する矛盾と言うのが、例の初等幾何の場合は『・・・錯角が等しいなら・・平行である・・』はこに出ていない、直線の公理に反すると、A∧・・KiのKiに矛盾したようにA∧・・KiのKiが不明確なので、前件部分の明確化をしたいと思ったのです。・・・・・ここも大丈夫。次がちょっと？＞　Aの定義maxA=Nnに矛盾する。これをもって、　ただの（￢Ａ）としていいものかどうか？　って言う疑問がでてきませんか？素数だけども、外にある状態でしょう？ ●Aが個数有限となればmaxA=Nnが存在する事になり、Ｎｎ＜Ｍｍが出てきては　maxA=NがAの中に存在しなくなるから、という意味で￢Aとなる。・・・と言えるような定式化にまだ不完全かもしれません。 ●そもそも素数の定義を含むA={素数Ns}の定義は、自然数の集合をNとして、 A＝{Ns：n,Ns∈N∧∀n((n＜Ns)⇒￢(Ns/n∈N))｝とでもするのが厳密でしょうか。こうすればNsは1と自分自身意外で割れない数だけの集合になります。要ご検討。これが有限集合かどうかです。述語論理まで入ると複雑すぎますね。・・・・・・・つまりは、背理法をやってみた式￢（Ａ⇒Ｂ）　⇔　（Ａ∧￢Ｂ）　これに反するだけですよね。　ここから素数が出てきてしまったから。＞　故に￢B⇒￢A≡A⇒B これは強引にかんじられませんか？

質問者

補足 2010/02/25 18:29

表示では逆になりますが・・・続きです　●上の様に厳密に素数を定義して、￢Bなら当然Aも有限集合で、そこには最大値があるので、それに反して￢Aでしょう。￢Ｂ⇒￢Ａ　と言い切ってしまって、大丈夫でしょうか。・・・・・・・・・・・・・・・・・・・Ａは無限から有限に変わりますね。ならば　￢Ａとしてもいいのかもしれません。・・・・・・・・・これが今回の肝です。ひょっとすると、例の式になるのかな？とチラッと思いましたが、私ももう少し考えて見ます。ゆっくり行きましょう。後半部分ですが、これは気持ちよく眠れますよ。・・・・・・・・＞　２×３×５×７×・・・×Nn=Mnの次の素数をこの式で考えると・・・　この式から、次の素数を求めるわけではありませんから、・・・・・・・・・・・・・・　＃ちょっとここぼかします。なる場合もあるかもしれない。おっしゃるとおりですね。Ｍ＝Ｍｎ×（Ｍｎ＋１）＋１　＝Ｍｎ＾２＋Ｍｎ＋１　(2) 　＃この計算式であっていますか？　確認してください。この式は素数を作り出す式ではないです・・・。・・・・・・・・後まだ他にもあるかもしれない。 ●(2)式が素数の式なら良いのですが、Mn=37でもM=1407=201×7になります。ここでの私の疑問の肝は、「どんな大きな数に対しても、それ以下の全ての素数を漏れなく選び出して掛け算できる」と言う事は、仮定するしかない。のてはと言う意味です。とすれば無限に多くの素数がある事と同じだという意味です。背理法は不要です。次の素数を探すのは、単純にふるいにかける作業になります。 (2) )メルセンヌ数は有名ですが、その間は全部コンピュータでチェックしているそうです。これは確か、私一目で分かるといったところではないでしょうか？　＃ついでなので書いておきましょう。「この作業では素数が得られない」（これは例外がありました）「間に素数が出てくるのであれば、それがどう言った素数で、　個数がいくつ、など　全く分からない」　この二つが一目で分かります。 (2)式が頭に浮かぶと、反則なんですが、見えます。これを本気で検証しようとすると、スーパーコンピュータで何日もかかって、素数を列挙していかないと、おそらく人間で無理な作業です。素数の無限性の証明は何だかんだ言って、やはり難しいな～。ここはほんとに学生さんもつまずくんですよね＾＾；

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