群数列についての証明

質問

第k群までの項をすべて順に並べた数列を、
c1,c2,c3.......,cn
　とする。
この群数列は次の条件を満たしている。
　項はすべて自然数
　nは第k群までの項の総数
　第k群を有限数列と考えたとき、初項はak,末項はbk　(特にbk=cn)
　第1群の項は自然数aである。(a1=b1=a)
　第1群から第k群までに現れない自然数の中で最小のものが第(k+1)群の
　　　初項a k+1
　第(k+1)群の第2項以降は
　　　c1+a k+1, c2+a k+1, ....... ,cn+a k+1
(1) a k+1≦bk +1 を証明せよ(k=1,2,3,......)
(2)　2ak≦a k+1 　　を証明せよ(k=1,2,3,......)

回答No.4

nag0720

(2)がもし、2a(k)≦a(k+1) (k=2,3,4,・・・・)　の証明なら、

a(k)=1　のときは、a(k+1)≧2=2a(k)　なので成立
a(k)＞1　のときは、a(k)の決め方から、第1群から第(k-1)群までには1～a(k)-1の自然数が含まれている。
よって、第k群には、a(k),a(k)+1,a(k)+2,・・・・,a(k)+a(k)-1の自然数が含まれる。
従って、第1群から第k群までには、1～2a(k)-1の自然数が含まれることになるので、a(k+1)≧2a(k)

回答No.3

nag0720

(1)の証明は、
c(1),c(2),c(3),・・・・,c(n)の中でc(n)が最大であることを示せばいいでしょう。（帰納法で証明は容易）
それば示されれば、
c(1),c(2),c(3),・・・・,c(n)が1～c(n)の自然数をすべて含んでいる場合は、a(k+1)=c(n)+1=b(k)+1
含んでいないものがある場合は、a(k+1)＜c(n)=b(k)
なので、どちらの場合も、a(k+1)≦b(k)+1

(2)は何か条件が違っているのでは？

補足

すみません。
(2)は
　2ak≦a k+1 　　を証明せよ(k=,2,3,......)
の間違えでした。

(1)についての証明も念のために教えていただけませんか?

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

下付きの数字（添え字）がわかりにくいのですが・・・
たとえば、数列の項を
a_n, a_(n+1)や
a(n), a(n+1)のような
形で表してもらえませんでしょうか。

a, b, cの後ろはすべて添え字ですか？

補足

わかりにくくてすみません。

第k群までの項をすべて順に並べた数列を、
c(1,)c(2),c(3).......,c(n)
　とする。
この群数列は次の条件を満たしている。

項はすべて自然数
　nは第k群までの項の総数
　第k群を有限数列と考えたとき、初項はa(k),末項はb(k)　(特にb(k)=c(n))
　第1群の項は自然数aである。(a(1)=b(1)=a)
　第1群から第k群までに現れない自然数の中で最小のものが第(k+1)群の
　　　初項a( k+1)
　第(k+1)群の第2項以降は
　　　c(1)+a( k+1), c(2)+a( k+1), ....... ,c(n)+a( k+1)
(1) a( k+1)≦b(k) +1 を証明せよ(k=1,2,3,......)
(2)　2a(k)≦a( k+1) 　　を証明せよ(k=1,2,3,......)

回答No.1

nag0720

＞第1群の項は自然数aである。(a1=b1=a)
a1=a=2とすると、a2=1（第1群に現れない自然数の中で最小のもの）となって、2a1≦a2は成立しませんが・・・