光のうなり

質問

光のうなり
ある流体中において、流体と等速度で移動する粒子にレーザを当てて流体の速度を測定する方法。
レーザは、ビームスプリッタによって主光と参照光に分けられ、同位相のまま交差角θで粒子に向かう。参照光はそのまま観測器に入るが、主光は粒子によって散乱され、そのうち参照光と同じ角度で観測器に向かうもののみが入る。この散乱光は粒子の速度によってドップラー効果による周波数の変化が起こっており、観測器は散乱光が入ってきた瞬間に参照光と散乱光のうなりを観測する。
今、ある流体中の粒子に対し、波長λのレーザを交差角θで照射したところ、観測器では周波数fのうなりを観測した。流体の速度vを求めよ。
ただし、光の速度cが流体の速度vに比べて十分に大きいものとする。

速度vの光の方向に対する角度はsin(θ/2)であるから、速度はvではなくvsin(θ/2)である。また、ここで「うなり」といっているのは、暗いところから暗いところに変わる回数であるから、振動数の差はf/2である
|ν'-ν|=f/2・・・(1)
ν'=ν(1-(v/c)sin(θ/2))・・・(2)
(1)と(2)より
ν|1-(v/c)sin(θ/2)-1|=f/2
∴v=(c/ν)f/2sin(θ/2)=fλ/2sin(θ/2)

この解答の(1)の右辺がfではなくf/2になる理由が理解できないでおります。「暗いところから暗いところに変わる」というのが、どうして1/2につながるのかということです。通常の音波のうなりの式|ν'-ν|=fを導く過程と何が違うのか、教えていただけないでしょうか。

この質問に対して、

まだ精査していないのですが、直感での第０次回答ですみません。

> 常の音波のうなりの式|ν'-ν|=fを導く過程と何が違うのか

「検出している物理量が何か」が違うのではないでしょうか？

光の場合、とかく忘れがちなのですが、「検出している物理量」は振幅変化ではなく、"強度"、すなわち振幅の２乗です。それに対し、音波ではマイクロホンから得られる信号は"振幅"ですね。cos波を２乗すると、その周期は元の周期に対して．．．？　　どうですか？

という解答をされてます。

この解答が理解出来ないので、誰か教えて下さい。

仮に、振幅y=Asin(wt)とおきます。(1)式
強度は、振幅の二乗かつ半角の公式より、y^2=(A^2)×(1-cos2wt)/2となります。(2)式

すなわち(1)の周期(T)に対する、(2)の周期(T´)は、T´=(1/2)×Tと表せます。(3)式

(3)式を変形すると、1/T´=2/T
すなわち、f´=2fとなり、(1)式の右辺のf/2になりません。

よろしくお願いします。

回答No.1

8kunkun

ご指摘の点、その通りと思います。
光検出器にλとλ’の光が同時入射し、それを２乗で検出する
場合であっても、振動項の周波数はやはり（λーλ’）であり、
2(λーλ')にはなりません。
（きちんと手を動かせばすぐ分かるはずです。）

最初に問題になった以下の部分は奇妙で理解できません。
おそらくここが誤っているようです。
>暗いところから暗いところに変わる回数であるから、
>振動数の差はf/2である
>ν'-ν|=f/2・・・(1)

うなりは、周波数の差なのでf/2でなくfであります。
|ν'-ν|=f・・・(1)'
これは譲れません。

ドップラー効果の式（２）は以下のように修正する必要があります。
ν'=ν(1-(2v/c)sin(θ/2))・・・(2)'

混乱の根本は、式（２）のドップラー効果の計算が誤っていて、
係数２が欠落していることに起因しています。

粒子から反射する光を観測する場合、ドップラー効果は以下のように
２回生じることに注意してください。
以下簡単のためθ=πとしsinを省きます。

１．動いている流体中の粒子が観測する周波数はドップラー効果
　　よりν’＝（1-(v/c))νと周波数がシフトする。

２．動いている粒子はから反射した光のν’＝（1-(v/c))νを、
　　粒子に対して相対的に動いている検出器が、観測する場合
　　再びドップラー効果が生じる。したがって、
　　　ν''=(1-(v/c))ν'
　　となる。
　　１、２よりドップラー効果ν⇒ν''はv/c<<1の条件のもとで、
　　ν''=(1-(v/c))^2ν=(1-2v/c)ν　
　　となり式(2)'が出ました。

　v/c<<1の場合、高校物理のドップラー効果ν(c+v)/(v-c)を
　用いても導出できますし、相対論のドップラー効果を用いても
　もちろん同じです。

　(1)',(2)'より結論は同じで、　
v=(c/ν)f/2sin(θ/2)=fλ/2sin(θ/2)
　となります。

　以上、よろしくお願いします。