うなりの振動数について

質問

振動数がf1とf2の波の合成波を求め、うなりの振動数が|f2-f1|となることを証明せよ。

という問題です。

合成波が、

s(t) = A sin ( 2π・f1・t )＋A sin (2π・f2・t )

= 2A cos [ 2π{ ( f1-f2 )/2 } t ] sin [ 2π { ( f1+f2 )/2 } t ]

というのは求まりました。
ここからなぜ振動数が |f2-f1| となるのかを説明したいのですが、よくわからないです。
特に、cosの部分が何を表しているのかがわからないです。

回答No.1

noname#153348 · ベストアンサー

sinの部分はｆ１とｆ２の平均値の周波数での振動を表し、cosの部分はそれに掛かっていますから振幅の変化を表しているとみることができます。振幅の変化の周波数は｜f1-f2|／２で元の周波数の差の半分になりますが、半周期ごとに正と負になりますから音として耳で聞いた場合などは倍の周波数｜f1-f2|で唸っているように聞こえることになります。図に描いてみれば分かりやすいと思います。

お礼

回答をヒントに考えていたら自己解決できました。
本当にありがとうございました！

補足

>半周期ごとに正と負になりますから音として耳で聞いた場合などは倍の周波数｜f1-f2|で唸っているように聞こえることになります。

ここが難しいです。
どういう図を描けばいいのでしょうか？

回答No.2

hitokotonusi

うなりが聞こえる条件は知っていますよね。振動数が近いときです。
なので、一般に|f1-f2| < f1 , f2 が成り立ちます。

ここではさらにわかりやすくするために、| f2-f1 | << f1 , f2 の音波を考えることにして、

f1 = 439Hz, f2 = 441Hz

とします。すると、

( f1+f2 )/ 2 = 440Hz
| f2 - f1 |/2 = 1Hz

となります。

この場合、

＞sin [ 2π { ( f1+f2 )/2 } t ]

は1秒間に440回振動する波で、人間の耳にはもはや振動していることはわからず、ただラの音が鳴っていると知覚されるだけです。

一方、

＞cos [ 2π{ ( f1-f2 )/2 } t ]

は、1秒に一回振動する波ですから、人間の耳にも明らかな強弱の変動として聞こえます。
これが「うなり」です。

＞特に、cosの部分が何を表しているのかがわからないです。

cosの部分は振幅と考えてしまいましょう。つまり、

s(t) = A'(t) sin [ 2π { ( f1+f2 )/2 } t ]
A'(t) = A cos [ 2π{ ( f1-f2 )/2 } t ]

とします。すると意味が明らかになって、s(t)は振幅が時間とともに変動する振動数が( f1+f2 )/2の波とわかると思います。

お礼

回答をヒントに考えていたら自己解決できました。
本当にありがとうございました！

補足

A'(t) = A cos [ 2π{ ( f1-f2 )/2 } t ]

とすれば、この振動数は ( f1-f2 ) /2 ということになると思うのですが、

なぜ「うなりの振動数」は半分の |f2-f1| となるのでしょうか？