周期と振動数

質問

こんばんわ。お世話になります。高校物理の波動に関する質問です。
　波の周期をT、振動数をｆとすると　
　　　　　「T×ｆ＝１」
が公式となりますが、この公式の意味をうまく説明することはできないでしょうか？変な質問ですいません。どうも参考書を読んでもしっくりこないので、暗記するしかないかな、と思っているところです。よろしくお願いします。

回答No.8

sanori · ベストアンサー

＞＞＞
単位時間当たりの回数と、その１回あたりのかかった時間を掛け合わせると１であるということですが、これにはどのような意味合いがあるのでしょうか？（定義なので意味は無いかも知れませんが…）変な質問ですいません。

数学で「逆数」を習いましたよね？
周期は振動数の逆数です。
振動数は周期の逆数です。
ですから、当然、Ｔ・ｆ＝１　です。

例えば、
１個の大きなケーキを６等分して６人で食べるとします。
１人当たりは、６分の１個です。

「６等分」を、振動数＝６[s^-1]に、
「６分の１個」を、周期＝１／６ [s]　に、
それぞれ置き換えて考えてみてください。
両者を掛ければ、当然、１になります。

振動数という名のナイフで６回切ることにより、大きさが１／６のケーキになったわけです。

こういう考え方もあります。
１ｋｇは、何ｇ？　→　１０００ｇ
１ｇは、何ｋｇ？　→　０．００１ｋｇ

１０００×０．００１　＝　１
になります。
なぜならば、１０００ｇ／ｋｇ　は、０．００１ｋｇ／ｇ　の
逆数ですから。

お礼

ありがとうございます。
＞１ｋｇは、何ｇ？　→　１０００ｇ
１ｇは、何ｋｇ？　→　０．００１ｋｇ
周期と振動数は互いに逆数であるということがわかりました。

　「振動数と周期は、規則的な波という１つの運動を別の視点から考えた場合の数値です。使う単位は　”ｓ”と”回”でありお互いに逆数の関係となります。よって、単位時間当たりの運動回数が振動数、単位運動当たりの時間が周期であるといえます。」

↑ということでいいのですよね。

回答No.12

cyototu

#11です。
お恥ずかしいですが、＃１１に誤植がありました。下の方の文は、

＞もし周期が先ずで定義されていた時は、この公式を使って振動数を定義しており、

＞逆に振動数が先ずで定義されていた時は、この公式を使って周期を定義しているのです。

です。他にもつまらない誤植がありますが、それらは混乱のもとにはならないと思います。

悪しからず。

回答No.11

cyototu

思い切って簡単に説明しましょう。

先ず周期とは、往復運動するものが、またはじめの時間まで帰って来る時間です。だから単位は「時間」です。その単位は秒でも、分でも、時間でも、日でも、年でも、あるいは昔の日本の何時（なんどき）でも、何でも良い。貴方が決めれば良いのです。

振動数は貴方が選んだ時間のその単位あたりにする往復の数と定義します。数には単位がありません。

貴方の観測によって、あるものが４日で１２往復したとします。ということは１日で３往復したことになり、２日で６往復、３日で９往復、1.5日で4.5往復したことになります。。

そこで、時間の単位を
１日で測ることにすると、振動数＝３/（１日）、
周期＝３x（１日）です。
ここでカッコ内は単位を表します。

２日で測ることにすると、
振動数＝６/（２日）＝３/（１日）、
周期＝1.5x（２日）＝３x（１日）です。

３日で測ることにすると、
振動数＝９/（３日）＝３/（１日）、
周期＝1x（３日）＝３x（１日）です。

４日で測ることにすると、
振動数＝１２/（４日）＝３/（１日）、
周期＝（3/4) x（４日）＝３x（１日）です。

1.5日で測ることにすると、
振動数＝4.5/（1.5日）＝３/（１日)、
周期＝2x（1.5日）＝３x（１日）です。

ですから、どの単位で測っても
　　振動数 x 周期＝　１　　ーーーーーーーーー（＊）
となります。

すなわちこの公式は＃７さんのおっしゃる通り、もし周期が先ずで意義されていた時は、この公式を使って振動数を定義しており、

逆に振動数が先ずで意義されていた時は、この公式を使って周期を定義しているのです。

またここで大事なことは（＊）式の左辺は物理的単位がある物同士を掛けていますが、その結果右辺のように単位の無い単なる数になっていることです。これは振動数と周期の定義から出て来る結論です。

将来もっと複雑な物理量の間のかけ算や割り算等をやるようになると、どんな専門家でも計算違いをやるものです。そのときこのように物理
量の定義をしっかり理解して、左辺と右辺の物理的単位があっているかあっていないかを調べると、どこで計算違いをしたかを見つけるのが比較的簡単にできます。だから物理的単位をしっかり認識する子ことは物理学の最先端の研究者たちにとって、トップクラスに大切なものです。

お礼

ありがとうございます。
＞物理量の定義をしっかり理解して、左辺と右辺の物理的単位があっているかあっていないかを調べると、どこで計算違いをしたかを見つけるのが比較的簡単にできます。

参考にさせていただきます。

回答No.10

sanori

三たびお邪魔します。

・振動数と周期は、規則的な波という１つの運動を別の視点から考えた場合の数値です。
・使う単位は　”ｓ”と”回”でありお互いに逆数の関係となります。
・よって、単位時間当たりの運動回数が振動数、単位運動当たりの時間が周期であるといえます。

それでは、ちょっとまずいですね。
特に、「使う単位は　”ｓ”と”回”」のところがまずいです。
（振動数と周期は逆数なので、掛けたときに単位も消えて１にするには、振動数の単位を“回”ではなく“回／ｓ”あるいは“／ｓ”にしなくてはいけません。
添削した結果を下記に。

・振動数（あるいは周波数）と周期は、規則的な波、振動、交流電圧・電流などを表す数値です。
・振動数（周波数）の単位は、“回／ｓ”（ ＝ “／ｓ” ＝ “Ｈｚ”）、
　周期の単位は、“ｓ／回”（ ＝ “ｓ”）であり、
　お互いに逆数の関係となります。
・単位時間当たりの回数が振動数（あるいは周波数）、１回当たりの時間が周期であるといえます。

お礼

添削ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

回答No.9

noname#58790

これ、考えれば当たり前の事なんだよ。

１０Ｈｚ（１秒間に１０回の振動。）
１回の周期は、０．１秒。（１秒間に１０回の振動だから。）

＞どうも参考書を読んでもしっくりこないので暗記するしかない
その参考書、捨てちゃえ。＾＿＾

お礼

ありがとうございます。

＞１０Ｈｚ（１秒間に１０回の振動。）
１回の周期は、０．１秒。（１秒間に１０回の振動だから。）

その通りですね。

回答No.7

sanori

Ｔｆ＝１　は、公式でも何でもありません。
言うなれば、「定義」の部類です。

では、具体的な例を。

【１】
１分に３０回（２秒に１回）のペースでぴょんぴょん飛び跳ねている人がいます。
飛び跳ねる周期（時間の間隔）は、当然、２秒（＝Ｔ）です。
ｆ ＝ ３０÷１ ＝ ３０[min^-1]
　あるいは、ｆ ＝ １÷２ ＝ ０．５[s^-1] （ ＝ ０．５[Hz]）
Ｔｆ ＝ ２×０．５ ＝ １

【２】
私は１日に３回ご飯を食べます。
簡単のため、等間隔すなわち８時間毎に１食食べるとします。
食べるペースは、ｆ ＝ １／８ [時^-1]
食べる間隔は、Ｔ ＝ ８ [時]
Ｔｆ　＝　８×１／８　＝　１

ちなみに、ｆという記号は、英語の frequency （頻度）を表します。
物理では日本語で周波数とか振動数とか言いますけれども、
元々は「頻度」という意味なんです。
ですから、飛び跳ねる頻度、食事をする頻度、これらは、周波数や振動数と全く同じことです。

お礼

回答ありがとうございます。
＞ｆという記号は、英語の frequency （頻度）を表します。

　つまり、単位時間あたりに振動する回数を表示することによって、その性質を示しているわけですね。参考になりました。

補足

回答ありがとうございます。

　単位時間当たりの回数と、その１回あたりのかかった時間を掛け合わせると１であるということですが、これにはどのような意味合いがあるのでしょうか？（定義なので意味は無いかも知れませんが…）変な質問ですいません。

回答No.6

taunamlz

>↑具体例を示されると納得するしかないですよね。

そうですか。
では、１周期を～として、
～～～～～～～～～～
これで一秒だとします。
一つの長さが分かれば１秒間に何個あるかが計算できます。
一秒間に何個あるかが分かれば一つの長さも計算できます。

で、振動数が多くなった場合は
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
と、周期が短くなります。
～～～～～～～～～～
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
どちらも同じ長さと言うのに注目してください。

１ｍの線の上にパチンコ玉を並べます。
この時のパチンコ玉の個数が振動数、パチンコ玉の直径が周期です。
この周期を変えるためにピンポン玉を並べたとします。すると置ける数が減ります。
１ｍの線の上にちょうど１００個並べて置ける大きさの球の直径を計算する事は簡単ですよね？
１ｍの線の上に直径２０ｍｍの球を並べて置いたら何個置けるか？というのを計算する事は簡単ですよね？

この長さの単位をメートルから秒に変えただけです。

お礼

回答ありがとうございます。

＞～～～～～～～～～～
これで一秒だとします。
で、振動数が多くなった場合は
　~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
どちらも同じ長さと言うのに注目してください。

つまり｜←ーーーーーーーー→｜という１秒という固定した時間（距離）の間に～という波と、振動数が倍の（波長が半分）~という波があった場合、同じ長さなので・・・　　（←ここからがわからなくなりました。どういう言葉が入るのでしょうか？）

回答No.5

taunamlz

NO1です。
では、モーターを回してその回転を観察したとします。（モーターじゃなくても車のタイヤでもいいですし、地球の自転でもいいですし、とにかく回転する物を想像してください）
一回転するのにかかる時間が周期
１秒間に何回転するかが振動数

一回転するのにかかる時間が0.1秒だとすれば、一秒間に１０回転しますよね？(f=T/1)
一秒間に１００回転すれば１回転にかかる時間は0.01秒ですよね？(T=f/1)

>参考までにお聞きしますが、どこをスタートしてどこに到達することを指しているのでしょうか？
何処でも良いです。山と山の頂上でもいいですし、谷と谷でもいいです。
一秒間に同じ波形が何個あるか？一つの波形の時間は何秒か？が分かれば良いだけです。

お礼

ありがとうございます。

＞一回転するのにかかる時間が0.1秒だとすれば、一秒間に１０回転しますよね？(f=T/1)
一秒間に１００回転すれば１回転にかかる時間は0.01秒ですよね？(T=f/1)

↑具体例を示されると納得するしかないですよね。

回答No.4

gogo314

自分の場合は、単位を軸に考えます。
振動数ｆは、1秒間あたりにくる波の個数なので、[個/秒]（[1/s]）
周期Ｔは、1個の波がくるのにかかる秒数なので、[秒/個]（[s/1]）

[個]は無次元数なので単位の記号はありませんが、
１の部分に「個」が入ってるんだなと頭に入れておくと、こんがらがらずに済むような気がします。

お礼

ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

補足

ありがとうございます

＞周期Ｔは、1個の波がくるのにかかる秒数なので、…

参考までにお聞きしますが、どこをスタートしてどこに到達することを指しているのでしょうか？（←うまい言葉があれば教えていただきたいと思います）

回答No.3

ymmasayan

もし波で考えてピンとこないのであれば。
ある地点を１秒間に通る人数をｆ人とします。
時間間隔Ｔは1/fです。
ｆ・Ｔ＝ｆ×１／ｆ＝１

お礼

ありがとうございます。
　皆さんの回答を読んでいて、自分は振動数というものがよくわかっていないということに気が付きました。
　上の例でいけば、１秒間にｆ人通過することが、ｆ回振動することと同じで、それはつまり、１人通過するためには１/ｆ秒かかるということですね。（１人＝１波長ということでよかったのでしたっけ？？）

補足

回答ありがとうございます。

申し訳ありません。逆に
＞時間間隔Ｔは1/fです
がわからなくなりました。

回答No.2

t-yamada_2

電気分野ですが「周波数ｆは1秒間に何周期（波形）分あるのか」（グラフに描くと分かり易い）と覚えましたので、
f=1/T　つまり１（秒）をＴ（周期）で割ればいいのです。
ｆ（周波数）＝１（秒）/Ｔ（周期）
http://www.wdic.org/w/SCI/%E5%91%A8%E6%B3%A2%E6%95%B0

お礼

ありがとうございます。
参考UTL中に、「Hz＝1/ｓ」　という表現があり、これがいいかなと思いました。また、周期は１回転に何秒かかるかということですね。