うなりについて２ 困ってます

質問

やはり、うなりがわかりません。
今朝きいた文章は少し違っていました。
うなりについて、振動数が少し違う音を鳴らすとうなりが起こります。
その公式についてです。
うなりが１回起こる時間（周期）をＴとおく。
このときのふたつの振動数をそれぞれｆ１とｆ２にする。
Ｔ秒後の波の山の数はそれぞれｆ１Ｔ、ｆ２Ｔになる。
｜ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ｜＝１の＝１がなぜだかわかりません。
次に、同じところで重なるときの、波の数の差がなぜ、
必ず１回なんですか？？
どうも、ピンときません。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。
　質問の意味がやっと分かりました。どうも誤解していたようです。どうも済みません。
　｜ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ｜でこの式をなぜ１に等しいとしたのか、その理由を尋ねておられるのですね？

　この数字は別に1でなく、２でも３でも自然数なら何でも構いません。ただ、そのときには、もっと小さい周期があることが分かるので、そちらがより正確な周期ということになります。

　たとえば、f1＝500Hz、f2＝502Hzのときを考えて見ます。この2つの波は、最初は位相が揃っている（例えば、山と山）とします。この波の1秒後の状態を考えると、f1の波はこの1秒の間に500個の山を作ってちょうど山の位置にあり、またf2の波は502個の山を作ってちょうど山の位置にあります。f1とf2の波は1秒後にはちょうど山の位置が合うので、1秒をうなりの周期と見ることができます。
　つまり、式で表すと、右辺は山の個数の差になるので、T'=1[s]として、
　　｜500×1－502×1｜＝502－500　・・・・・(1)
となります。質問者さんが疑問に思われているのは、こういうことがあってもいいのではないか、ということだろうと思います。
　しかし、よく考えてみてください。1秒後に山の数が２個差でちょうど山の位置になるということは、その半分の時間でも山の位置が合うのではないかと。
　ためしに、0.5秒後を考えて見ます。
　f1の波は、山を250個作って山に位置にあります。また、f2の波も山を251個作って山の位置にあります。2つの波は、想像通り0.5秒後でもちょうど山の位置が一致するのです。うなりの周期は実はここにあるのです。数式で表すと次のようになります。
　　｜500×0.5－502×0.5｜＝251－250　・・・・・(2)
　このときのうなりの周期はT=0.5[s]です。
　先ほどのうなりの周期T'=1[s]と比べてみますと、ちょうど半分になっていることが分かります。つまり、T=0.5[s]の方がより正確な周期を表していることになるのです。そして、一般にはこちらの短い方を周期とします。
　式(1)と式(2)を見比べてみてください。式(2)を導くのに面倒な手間をかけましたが、実は式(2)は式(1)の両辺を単に半分にしているに過ぎません。2つの式の数値を文字に直して見ます。
　　|f1T'－f2T'|＝2　・・・・・・(1)'
　　|f1T －f2T |＝1　・・・・・・(2)'
　この式(1)'と式(2)'からTとT'の関係を導くと、
　　T'＝2T
となっていることが分かります。
　つまり、｜ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ｜の式で値を2とおくと、その時間の半分のところに本当の周期が現れていることが分かります。｜ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ｜を2以上の値としても最も小さい本当の周期は求められず、本当の周期の何倍かの値しか求められないことになる訳です。
　そのため、うなりの周期を求めるときは、最初から｜ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ｜＝１と置いて解くようにしているのです。

お礼

ありがとうございました。
本当によくわかりました。
｜ｆ１－ｆ２｜＝１とおいて解くで
完全にわかりました。

回答No.5

yu-fo

横槍　失礼しますm(__)m
単純な数学的回答を試みます。

公式(1)：ｆ＝｜ｆ１－ｆ２｜
公式(2)：ｆ＝１/Ｔ

公式(1)の両辺をｆで割ります。
１＝｜ｆ１/ｆ－ｆ２/ｆ｜
公式(2)の関係から
１＝｜ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ｜

という単純な回答は不可ですか？

で、最後の式が物理的にどういった意味を持つものかは他の方の回答を参照していただければよろしいんではないかと。。。

回答No.4

foobar

数式的な説明は他の方がされていますので、ちょっと模式的に、、

・手元に紙を用意して、水平に線を一本一本引きます（時間軸）
・この線の上に、等間隔T1(T1=1/f1)で赤色の点を打ちます
・次に、青色の点を等間隔T2(T2=1/f2)で打ちます。このとき、青と赤の一つ目の点が同じ位置（重なるように）打ちます。
・すると、青と赤の点は少しずつずれていって、「ひとつ分ずれた」ところでまた重なります。（次に重なったときがT）

・で青と赤の点の数を数えると、赤がf1T,青がf2T,で、点がひとつ分ずれたときにもう一度重なる（うなりの次のピークがくる）ので、|f1T-f2T|=1

とこんな感じでいかがでしょうか。

お礼

ありがとうございました。
思わず赤ペンと青ペンを用意して
やりました。

回答No.2

noname#40706

うなり　を　数式以外で説明するのは　なかなかむずかしいですね。

音は空気の振動ですから、２つの波を、波のグラフであらわしたとき、山　と　山　が重なったときが大きな音（強い音）、山と谷が重なったときが小さな音（弱い音）となることは、ご納得いただけますね。

まず、ｔ＝０　というか、今の瞬間に２つの音の山と山が重なったとしましょう。このとき、大きくうなります。ワーンの　ワ　です。それからしばらくの間は山が少しづつ　ずれていきますので、音が弱め合っていきます。そして、次に山と山が重なるのは　たとえば、Ａの波の山が２０こ目、Ｂの波の山が２１こ目、と、２つの山の数が１つ違ったときになりますね。この１こ　の１があなたの疑問の１なのです。

。

＜＜次に、同じところで重なるときの、波の数の差がなぜ、
必ず１回なんですか？？＞＞

１にしたから、１回うなる時間がわかるのです。２にしてもいいです。そうすると、２回うなる時間（周期）が求まります。

｜ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ｜＝１

この式の左辺のＴは、うなりの周期　つまり、うなりが「１回おこる時間」のことですね。

そして、ｆ１Ｔ、ｆ２ＴはＴ秒間に作られる波の山の個数ですから、ｆ１Ｔ－ｆ２Ｔ　はその山の個数の差です。これが１、つまり、Ｔ秒間に１回音が大きくなる、ということです。

上の式の右辺を、

１ではいやだ、２にしよう

と思ってもいいですよ。そうすると、あなたは２回うなる時間を求める公式を発見したことになるのです！　ちょっとうれしいですね

同じような説明で、くどかったかも知れませんが、何となくでもご理解が得られればうれしいです。

下のサイトに簡単なグラフ作成ソフトがあります。画面の左枠のdownloadから、ダウンロードしてみてください。function view といいます。

そして、

陽関数ｙ＝ｆ（ｘ）のわくに

ｙ１：　sin(20πx)+3

ｙ２：　sin(24πｘ＋π)

ｙ３：　sin(20πx)＋sin(24πｘ＋π)－４

という式を入れてグラフを書いてみてください。

左右の大きさを←→などで、調整してみると、うなりのグラフが見えます。

上の２つの波が重なって、下の波ができます。これがうなりの正体です。

これは１０Ｈｚ（ｙ１）と１２Ｈｚ（ｙ２）　の音が重なって１秒間で２回うなっています。　つまり、周期Ｔ＝０．５　です。

横軸（ｘ軸）が時間をあらわしています。０～１の中に２つかたまりが見えるでしょう。それが、音が強いところです。

数字をいろいろ変えて試してみてください。

このソフト、とても便利です。高校程度の数学のグラフはあっというまに書けます。印刷、保存も簡単です。

数学の関数の勉強にも役立ちますね。

参考URL：

http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/

お礼

１ではいやだ、２にしよう

と思ってもいいですよ。そうすると、あなたは２回うなる時間を求める公式を発見したことになるのです！
この文章でスッキリです。
ありがとうございました。

回答No.1

Mr_Holland

混乱しているようなので、数式で説明してみます。
　うなりを起こすのは２つの波の振幅がほぼ同じときですので、問題を簡単にするため共通の振幅Aをもつとします。また、同様に位相差はないとし（位相差があっても本質的には変わりません)、2つの波の周波数をf1、f2とします。
　　A cos(2πtf1)、A cos(2πtf2)
　この２つの波を重ね合わせるので足し合わせて、三角関数の和積の公式を利用すると、
　　A cos(2πtf1)＋A cos(2πtf2)
　＝2A cos{πt(f1-f2)}cos{πt(f1+f2)}
　今ここで、2つの波の周波数f1とf2が近いとすると、
　　f1≒f2≡f0
　∴π(f1+f2)≒2πf0
　したがって、重ね合わせた波の式は、
　＝2A cos{πt(f1-f2)}×cos(2πtf0)
　さて、この波の2つの目のcosは周波数f0の搬送波を表し、1つ目のcosはうなりの包絡線を表しています。また、うなりの周波数は単位時間当たりの極大の個数または０になる個数を表しているので、通常の正弦波の周波数の倍になる（符号がマイナスのときはプラスのときと同じように振幅が振れるため）。
　したがって、うなりの周波数をｆとすると、
　　2πf＝π|f1-f2|×2
　∴f＝|f1-f2|
　うなりの周期をTとすると、
　　T＝1/f＝1/|f1-f2|

　ちなみに、前回の質問に対する回答はTを勘違いしていました。訂正してお詫びいたします。

＞　このときのTはうなりの周期を表しているのですよね。
＞　でしたら、T＝1/fであることに注意すれば、
＞　　f1/T-f2/T＝(f1-f2)/T＝f/(1/f)＝１
　(正)f1T-f2T＝(f1-f2)T＝f(1/f)＝１
＞となると思います。