正弦波の式の導出

質問

正弦波の式 : y = Asin{2π(t/T - x/λ) + θ} …… #1
(A : 振幅, t : 時刻, T : 周期, λ : 波長, x : 位置, θ : 初期位相, y : 変位)
の導出を自分で考えて行ったのですが、どうも式が若干異なって出てしまうので、
導出過程に誤りが御座いましたら指摘して下さい。

なお、一般的な教科書などに載っているやり方は理解出来ます。

【導出過程】
波の、v-xグラフについて考えます。

y = sin(x)は、周期2πで、y = sin(ax)は周期が2π/aなので、
波長がλなので(sinの)周期をλにするには、
y = (2π/λ)x …… #2
です。

時刻t = 0、初期位相θ = 0の時、#2のグラフが波を示します。

ここで、時刻tの時、波の速度をvとすると、波はvt進むので#1のグラフを平行移動して、
y = sin (2π/λ)(x - vt)
で、v = λfですから、
y = sin (2π/λ)(x - λft)
= sin 2π(x/λ - ft)
f = 1/Tですので、
y = sin 2π(x/λ - t/T)

従って、初期位相θ、振幅Aを考えると、
y = Asin{2π(x/λ - t/T) + θ} …… #3
となる……と思うのですが、#1と比較すると、x/λとt/Tが逆になっています。
しかも、(全てのθで)逆位相という訳でもありません。

どれだけ考えても分からないので、どうかおかしな点をご教授願います。

回答No.3

yokkun831 · ベストアンサー

No.1さんが正当な評価をされていますので，ちょっとした補足のみ。

y = Asin(2π/λ)x …… #2

と置かれたものをy-xグラフに描いてみてください。
波形はt=0の状態を示しています。すると，原点ではこの先媒質はどのように振動するか考えてみてください。-x側から谷が近づいてきますから，
y0 = -Asin2πt/T
となりますね？　#3の結果はこれを正しく反映しています。

標準的な正弦波の式は，原点における振動を
y0 = Asin2πt/T
とするところから始めるのです。rfiosrjfさんの方法でこれに合わせようと思ったら，t=0の波形を
y = -sin(2π/λ)x
とおく必要があったわけです。

rfiosrjfさんも正しい手順をとられてはいますが，通常は，t=0の空間的な波形（y-xグラフ）を始めにおくのでなく，x=0の時間的な波形（振動のようす）を
y0 = Asin2πt/T
とおいて，次のような手順で式を組み立てます。
時刻tにおける位置xの変位は，x/vだけ時間をさかのぼった時刻t-x/vの原点の変位に当たります。そこで，原点の変位y0のtをt-x/vととりかえたものが，位置xの変位になるのです。すなわち，
y = Asin2π(t-x/v)/T = Asin2π(t/T-x/λ)

空間的な波形を先におくか，時間的な波形を先におくかは自由ですが，たとえば原点に波源があり，y0=Asinωt で振動していると+x方向に生じる波は・・・とするような場合，波が生じる因果関係の順序に従って考えるには時間的な振動を先に決めるのが妥当といえるかもしれません。

お礼

早急なご回答を有り難う御座いました。

> 標準的な正弦波の式は，原点における振動を
> y0 = Asin2πt/T
確かに、学校ではそう習った(正の方向に変位して……)ので非常に納得出来ました!
或る点での振動に関する記述がある場合は時間的な波形を考えた方が良いですね。

色々と細かいところを説明して頂き、本当に有り難う御座いました。
明日テストだったので非常に理解を深められ、感謝しております。

回答No.2

maccha_neko

y = Asin{2π(t/T - x/λ) + θ}
は，原点では正方向の回転でできる波を基準にして考えたときですよね．
原点ではsin(2πt/T+θ）で，ｘだけ離れたところには2πx/λだけ遅れたものが伝わるし，tだけ経過したら2πt/Tだけ進んでる

一方，
y =sin (2π/λ)x
というのは原点からｘ方向に正弦波の波の形を書いて考えているのだと思いますが，これだと逆回転なんですね．今原点（x=0）でv=0としてx方向に正弦波を書いていたとします．普通にsin（2πt/T）っていう感じで回転（振動）しているとすればΔt秒あとには原点のvはsin（2πΔt/T）ですから＋方向に向かうはずですよね？
ところが，この状態から次の状態へとグラフを平行移動させてみると・・原点のvは－方向になると思います．つまり，原点からsinカーブ～♪といって引いた線というのは，原点では逆回転・・つまりsin(－2πt/T＋θ）で生成されている波というわけです．
逆回転なので，xだけ離れたところでの位相はというと，その分遅れ・・というのは＋方向の回転ですから符合も＋になって
sin(－2πt/T＋θ＋x/λ）
っていう具合です．
元が逆回転ということで「初期値」であるθはどちらも加算ですけど，回転にかかわるx/λと2πt/Tは符号がひっくり返ってしまうわけです．

sin(-x) = sin(π+x)ですから，πだけ進んだ位置からスタートしていると思うこともできますけどね．

お礼

早急なご回答、どうも有り難う御座いました。
今気付きましたが、#2の式だとv-xグラフではなくてy-xグラフでしたね;
混乱を招くような質問の書き方をして申し訳御座いませんでした。

非常に丁寧に解説して頂いて有り難う御座いました。
確かに、x = 0では(僅かな)Δt秒後には負の方向に動いていますね。
元の#1だと正の方向なので其処が違ったのですか!

本当に有り難う御座いました。

回答No.1

sanori

こんばんは。
まず、引き算の両側にスペースを入れる丁寧な書き方に感心しました。
ここのサイトでは珍しいです。

さて、
途中の式は検証していませんが、そういう結果が出ても全然問題はありません。

なぜならば、θ＝－θ’、Ａ＝－Ａ’と置けば、
Ａsin（２π（ｘ／λ　－　ｔ／Ｔ）＋ θ）
　＝　Ａsin（２π・－（ｔ／Ｔ　－　ｘ／λ）－ θ’）
　＝　Ａ・－sin（２π（ｔ／Ｔ　－　ｘ／λ）＋ θ’）
　＝　Ａ’sin（２π（ｔ／Ｔ　－　ｘ／λ）＋ θ’）
となりますので、結局、振幅の絶対値と初期位相の絶対値が同じ正弦波の式になるからです。

あるいは、
sin（θ＋π）＝ －sinθ　なので、
わざわざＡ＝－Ａ’を持ち出さなくても、
初期位相にπを足したものを新たにθと定義し直すだけで、Ａの符号を逆転させることができます。　←重要！

言い換えれば、あなたが導出した
Ａsin（２π（ｘ／λ　－　ｔ／Ｔ）＋ θ）
も、れっきとした解の一種なのです。

ご参考になりましたら幸いです。

お礼

早急なご回答、どうも有り難う御座いました。
導出した結果が実質、誤りではないということでしたか^^;
少し安心出来て良かったです。
でもグラフが一致しないということは、矢張りまずいので初期条件にマイナスを付けたりして
結局は#1のようにした方がいいのですね;

> まず、引き算の両側にスペースを入れる丁寧な書き方に感心しました。
有り難う御座います^^

蛇足ですが、私は趣味ながらプログラミングをしているので
癖でプラス、マイナスの両端にスペースを入れています。
また、数式を読む人にとって、このようなテキストで式を渡されると非常に読みにくいので
数式の表記は徹底すべきと考えていて、誤解が無く読み易いように記述しようと心掛けています。