複素関数の質問です。

質問

∫｜Z+1｜｜dZ｜　　　（C：｜Z｜＝１）

この式の値を求めよという問題が出たのですが、答えの８にたどりつけません。絶対値の処理が間違っていると思うのですが、どのように解いたらよいでしょうか。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

｜dz｜ という書き方がよく解りませんが…
No.1 さんのように θ を置くと
｜z+1｜ = 2｜cos(θ/2)｜,
｜dz｜ = ｜dθ｜
となりますから、
｜dθ｜ の絶対値記号を無視して
与式を = ∫[θ=0→2π] 2｜cos(θ/2)｜dθ
と解釈しても構わないのであれば、
与式 = 4∫[θ=0→π] cos(θ/2)dθ
となります。

お礼

おかげで解くことができました。ありがとうございました。

回答No.1

sssx

積分経路が円ですから、
Z = exp(iθ)
と書きます。

積分はθ:0->2πです。

被積分関数は
｜Z+1｜ = ｜cosθ+i sinθ +1｜
となりますので、
積分は
√2 ∫√(1+cosθ)dθ
となりますが、実際は半周期だけ積分します。
つまり
2√2 ∫√(1+cosθ)dθ、θ:0->π。

これで 8 になりました。

お礼

参考にさせて頂きました。
ありがとうございました。