- ベストアンサー
複素関数
C_Rを-iRからirへの積分とする。 lim[R→0]∫C_R(1/1+z)dzの値を求めよ。 という問題です。 これはどのようにして解けばよいでしょうか? ご指南お願い致します。
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
関連するQ&A
- 複素関数を積分していて困ったことがあったので質問します。
複素関数を積分していて困ったことがあったので質問します。 ∫dz/[(e^z+1)(z-1)^2] を一辺2Rの正方形の周り(中心が原点に存在) で一周積し、Rを無限大にしたときこの積分値が0に(おそらく)なることを示すのですが、 z=R+ iy(z=R-iy) のように x=R と固定した時値が0になるのは理解できるのですが、 z=x+iR(z=x-iR) と y=iR に固定した時0に収束することを示せません。 分母の関数を適当なもので評価するんだと思うんですが、うまくいかなくて・・・ よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 全複素平面上で正則な関数f(z)は
全複素平面上で正則な関数f(z)は lim_[r→0] ∫_Cr f(z) dz = 0 を満たすことを示せ。ただし、Cr = { r*exp(iθ) | 0≦θ≦π } (r>0の上半円周) 考えた証明の方針: 単純閉曲線C:= Cr + Cr' (ただし、Cr': = { x | -r≦θ≦r } )と定め、 まず、コーシーの積分公式を証明。すなわち、∫_C f(z) dz = 0 次に、∫_C f(z) dz = 0 に r→0として題意を示すと思いました。 しかし、∫_-r^r f(z)dz =0になることが言えなくて、つまづいています…。 どなたか知恵を貸してください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分について
複素数cと実数ξとし、 f(z)=(e^(iξz))/(z-c) という複素関数を考えます。 lr={z=t ; -r<t<r} 、Cr+={z=re^(it) ; 0≦t≦π} 、 Cr-={z=re^(-it) ; 0≦t≦π} として、lrとCr+を合わせた曲線をγ+、lrとCr-を合わせた曲線をγ-とします。 ここで、 (1)Im c≠0、|c|<rとしたとき、f(z)のγ+、γ-上の積分 (2)Im c≠0、ξ≠0のとき、実軸上の積分、 ∫[-r,r] f(x)dx , r→∞ という問題なのですが、(1)については、 )Im c>0のとき γ-上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ-] f(z)dz=0。 また、γ+上の積分は、留数定理により、∫[γ+] f(z)dz=2πie^(iξc)。 )Im c<0のとき γ+上の積分の積分は、Cauchyの積分定理により、∫[γ+] f(z)dz=0。 また、γ-上の積分は、留数定理により、∫[γ-] f(z)dz=2πie^(iξc)。 となると思うのですが、これで大丈夫なのでしょうか? また、(2)については、 ∫[γ+] f(z)dz + ∫[γ-] f(z)dz =∫[Cr+] f(z)dz +∫[Cr-] f(z)dz+2∫[lr] f(x)dx と考えたのですが、左辺については、Im cの符号によらず4πie^(iξc)となると思いますが、右辺については、よくわからなくなってしまいました。どのようにして、考えていけばよいのでしょうか?どなたかお力添えよろしくお願いします。 読みにくい文章で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の問題です。
f(z) = cos(2z) - sin(z) Cを原点を中心とする半径1の半時計周りの演習とし、nを自然数とする。このときの積分値を求めよ。 ∫[C] f(z) / z^n dz +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ という問題です。 g(z) = f(z) / z^n としてz = 0が一位の極なので留数定理より Res = lim[z→0]{(z-0)g(z)} = lim[z→0]{f(z)/z^(n-1)} より Res = f(0) = 1 として極は半径1の円周のなかにz = 0のみなので ∫[C] f(z)/z^n dz = 2πi としました。 これで合っているのでしょうか? よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 複素積分
複素関数f(z)を、 f(z)=(1-e^(2iz))/z^2 (zはC/{0}の元) とします。 (1)z=0におけるローラン展開 (2)R>0に対して、上半円弧CrをCr={z=Re^(iθ) : 0≦θ≦π}とし、 反時計回りに向きを入れるとき、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz という上記の二問についてですが、 (1)について e^zのテイラー展開にz=2izを代入し f(z)=(1/z^2){1-(1+z+(z^2)/2!+…} =-Σ[n=1→∞] (((2i)^n)z^(n-2))/n! と強引に計算しましたが、これで大丈夫なのでしょうか? (2)について z=Re^(iθ)を与式に直接代入して、 lim[R→∞] ∫[Cr] f(z)dz =lim[R→∞] ∫[0,π] {1-e^(2iRe^(iθ))}/{Re^(iθ)} dθ として、ここから積分評価をしていきたいのですが、どのようにして考えていけばよいのでしょうか?とりあえず、被積分関数の絶対値を考えてみたのですが、うまくいきません。どなたかアドバイスをいただけませんか? 以上の二問ですが、よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題です。
複素積分の問題です。 複素平面上の3つの曲線 C: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?2π) D: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?4π) C1: z(θ)= 1+1/2re^iθ (0?θ?π) C2: z(θ)= 1+1/2re^(-iθ) (0?θ?π) を考える。このとき、複素積分 ∫_c?1/(z-1)dz,4 ∫_D?1/(z-1)dz, ∫_c1?1/(z-1)dz, ∫_c2?1/(z-1)dz, ∫_c?1/zdz の値をそれぞれ求めよ。またその結果により、どのような定理が立つことが予想されるか。 全然わからないので是非よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素積分の問題
複素積分の問題 次の複素積分の問題が分かりません. アドバイスいただけたら幸いです. 次の複素関数について以下の問に答えよ f(z) = z^-c / ( 1+z ) ただし、0<c<1 (1)複素平面上におけるf(z) の全ての特異点を求めよ (2)図中の閉曲線をγとする閉曲線γの矢印にそった向きの「周回積分」 ∫γ f(z)dzを求めよ γRは半径(R>1)の円し,γrは半径(r<1)の円を表す (3)z=R exp(iθ)またはr=R exp(iθ) (0<θ<2π)とおくことにより, 曲線及び曲線に沿った「周回積分」の絶対値 │∫γR f(z)dz│および、│∫γr f(z)dz│ がR→∞、r→0の極限において0に収束することを証明せよ (4)以上の結果を用い、次の「積分」 ∫(0→∞) x^-c / ( 1+x ) dx = π/ (sinπc) を証明せよ
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
回答ありがとうございます。 経路に特に指定はありません。 積分区間が-iRからirと指定されているだけです。
補足
すいません。 R→∞でした。