数学の問題がわかりません。どなたか教えてください。

質問

数学の問題がわかりません。どなたか教えてください。

（x+1+1/x）^5を展開したとき、定数項はなんであるか。

という問題です。

解説に

5!/0!5!0!＋5!/1!3!1!+5!/2!1!2!とか何とか書いてあるんですけど意味が分かりません。

助けてください。。。

回答No.1

banakona

下の図は（x+1+1/x）を縦に５つ並べたものです。

同類項をまとめずにバラバラにして考えます。下の図で、上から下に流れる赤い線は、（x+1+1/x）^5をなす項の一つを表していて、この場合、ｘ、１，１、１／ｘ、ｘ、１／ｘを掛けたもので、掛けると１になります。
同様にして、定数項以外も含む全ての項は、赤い線がどこを通るかによって決まります。

定数項は、掛けて１になる赤い線が何本ひけるかを数えることになります。
定数項になるのは、赤い線が通過するｘと１／ｘの個数が等しい場合となります。
それは赤い線が・・・
　Ａ．「１」のみを通過する場合
　Ｂ・「１」を１個、「ｘ」を２個、「１/ｘ」を２個　通過する場合
　Ｃ・「１」を３個、「ｘ」を１個、「１/ｘ」を１個　通過する場合
です。

Ａが１通り。
Ｂが５！／（１！２！２！）
Ｃが５！／（３！１！１！）

なので、上記のような式になります。

おまけ：こう考えると、２項定理の係数がｎ Ｃ ｒ となるのが納得がいきます。

補足

図までつけてくださってありがとうございます。

それでもわからないところがあります。本当にすいません。

Ｂが５！／（１！２！２！）
Ｃが５！／（３！１！１！）

と書いてありますが、なぜこの式で答えが導き出せるのかがわからないのです。

物分りの悪い少年で本当に申し訳ありません。