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数学の積分の問題でわからないのがあります。
数学の積分の問題でわからないのがあります。 (1)∫cosx/(1-cosx)dx (2)∫((x)^1/4)/(1+√x)dx (3)∫(1-x)/(x+2)dx ←全体にルートがかかってます (4)∫(x^2+1)dx ←これも全体にルートがかかってます。 わかる方がいたらできれば細かく教えてほしいです。
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- mocomu
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(3)。√がわかりにくくなっちゃうのと、だんだんめんどくさくなってきたので省略しつついきます! √ごとtと置くと、(1-x)/(x+2)=t^2 となるからこれをxの式としてきれいにすると、x=(1-2t^2)/(1+t^2) となる。(x= の形にしとかないとdxとdtの関係を調べるときにややこしくなります。) dx/dt=〈上の式をtで微分する〉 を求めたら、 ∫√(1-x)/(x+2)dx = ∫t*〈上の式をtで微分したもの〉dt =∫-6t^2/(1+t^2)^2 dt となると思います。 ここで分母に1+t^2があるので t=tanθと置換すると、 =計算がんばる =∫-6sinθ^2dθ =∫-6*{(1-cos2θ)/2}dθ もうできるかな。
- mocomu
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(4)。 √(1+x^2) + x = t と置くと、 1+x^2 = t^2 - 2tx + x^2 より、x = (1/2)*{t-(1/t)} となる。 ∴1+x^2 = 1+(1/4){t-(1/t)}^2 = (1/4){t+(1/t)}^2 , t>0 とあらわされるから ∫(x^2+1)dx =∫(1/2){t+(1/t)}*(1/2){t+(1/t^2)}dt =計算がんばる =(1/4)∫(t^4 + 2t^2 + 1)/t^3 dt =(1/4)∫(t + 2/t + 1/t^3)dt 1項目はふつうに、2項目はlogで、3項目もt^-3の積分と考えてふつうにやればよい。 =(1/8){t^2 - (1/t^2)}+(1/2)log|t|+C (Cは積分定数) となったら、あとは忘れずにtのところにxの式(はじめに置いた式)を代入してあげて できあがり。
- mocomu
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(1)。 ∫cosx/(1-cosx)dx の分子・分母に1+cosxをかけると =∫cosx(1+cosx)/(1-cosx^2) dx =∫cosx(1+cosx)/sinx^2 dx =∫{cosx/sinx^2 + cosx^2/sinx^2} dx 微分してcosx/sinx^2になるのは-1/sinxですね。 2項目を考える。 ∫cosx^2/sinx^2 dx =∫(1-sinx^2)/sinx^2 dx =∫{1/sinx^2 - 1}dx 微分して1/sinx^2になるものは-1/tanxです。(一応公式) もうできると思います。
- mocomu
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とりあえず(2)。 x^1/4 = t と置くと、√x = x^1/2 = t^2 となり、 dt/dx = (1/4)*x^(-3/4) より dx = 4*x^3/4 = 4*t^3 となるから ∫((x)^1/4)/(1+√x)dx = ∫{t/(1+t^2)}*4t^3 dt = ∫4t^4/(1+t^2)dt あとは分子4t^4を分母(1+t^2)で割り算して、分子の時数をさげてあげればいいと思います。 たぶん→→∫{4t^2 - 4 + 4/(1+t^2)}dt になる ※微分して1/(1+t^2)になるものはarctan(t)です。
お礼
どの問題も丁寧に本当にありがとうございます!! 今から問題解いてみますね!!