a^3+b^３+c^3+3abcの因数分解

質問

a^3+b^３+c^3+3abcの因数分解は交代式というそうですが、地道にとくとどうなるのでしょう？細かい説明お願いします。

回答No.1

fushigichan

783467393さん、こんばんは。

＞a^3+b^３+c^3+3abcの因数分解は交代式というそうですが

a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
という因数分解のことでしょうか。

まず、aについての３次式だと考えて、
f(a)=a^3+3bca+(b^3+c^3)
　　=a^3-3bca+(b+c)(b^2-bc+c^2)
ここで、因数定理から-(b+c)をaに代入してみると
f(-(b+c))=-(b+c)^3+3bc(b+c)+b^3+c^3
　　　　　=(b+c){-(b+c)^2+3bc+b^2+c^2-bc}
　　　　　=(b+c){-2bc-b^2-c^2+3bc+b^2+c^2-bc}=0
となるので、f(a)は(a+b+c)という因数を持つことが分かります。
あとは、実際に筆算で割ってみるといいでしょう。
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
となることが求められます。

しかし、一般には
(a+b+c)(a^2+b^2+c-2-ab-bc-ca)を展開してみると
a^3+b^3+c^3-3abcとなることから、これを公式として覚えてしまうことが多いと思います。
ご参考になればうれしいです。