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a⁴-b⁴を因数分解すると(a-b)(a+b)(a
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(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2....(*) がもとになっているのはもちろんですが、分解可能性は扱う数の範囲によりかわります。 普通は「実数の範囲」ですが問題によっては「複素数の範囲」と指定されるときもあります。 -------------- P = a^4 + b^4 については、実数の範囲で分解するのであれば(*)を使い、 P = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2 = {(a^2 + b^2) + √2 *ab}{(a^2 + b^2) - √2 *ab} =(a^2 + √2 *ab + b^2)(a^2 - √2 *ab + b^2). と「2つの2次式の積」に分解できます。 ------------------ ・・・以下は指定されたときのみ・・・ さらに「複素数の範囲」であればこれを、 (a + α*b)(a + β*b)(a + γ*b)(a + δ*b). と必ず「1次式の積」に分解ができます。(α~δは複素数)
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- marukajiri
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因数分解する際に使う公式に、「和と差の積=平方の差」というのがあり、これを使っています。「(a+b)(a-b)=a^2-b^2」 a^4-b^4=(a^2)^2-(b^2)^2 =(a^2+b^2)(a^2-b^2) =(a^2+b^2)(a+b)(a-b) a^4+b^4は、これをaでもbでもくくり出すことができないでしょう。共通項がないのですから。
- f272
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(1) a^4-b^4 =(a^2-b^2)(a^2+b^2) =(a-b)(a+b)(a^2+b^2) というのが標準的な解答だろう。 (2) a^4+b^4=(a+(1-i)b/√2)(a+(-1+i)b/√2)(a+(1+i)b/√2)(a+(-1-i)b/√2) と因数分解できるけど,複素数を使うのはなしでと言うことなのだろう。
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