a⁴-b⁴を因数分解すると(a-b)(a+b)(a

質問

a⁴-b⁴を因数分解すると(a-b)(a+b)(a²+b²)だそうですが、
これはどんな手順によって因数分解するのですか？

1、この与式a⁴-b⁴の因数分解の手順を教えてください

2、a⁴+b⁴は因数分解できないそうですが、その理屈を教えてください。

2の理屈はもしスグに理解出来なくても
回答して下さったことをメモして理解を頑張ります。

{私は学生ではありません}

回答No.3

gamma1854 · ベストアンサー

(X + Y)(X - Y) = X^2 - Y^2....(*)
がもとになっているのはもちろんですが、分解可能性は扱う数の範囲によりかわります。
普通は「実数の範囲」ですが問題によっては「複素数の範囲」と指定されるときもあります。
--------------
P = a^4 + b^4 については、実数の範囲で分解するのであれば(*)を使い、
P = (a^2 + b^2)^2 - 2(ab)^2
= {(a^2 + b^2) + √2 *ab}{(a^2 + b^2) - √2 *ab}
=(a^2 + √2 *ab + b^2)(a^2 - √2 *ab + b^2).
と「２つの２次式の積」に分解できます。
------------------
・・・以下は指定されたときのみ・・・
さらに「複素数の範囲」であればこれを、
(a + α*b)(a + β*b)(a + γ*b)(a + δ*b).
と必ず「１次式の積」に分解ができます。(α～δは複素数)

回答No.2

marukajiri

因数分解する際に使う公式に、「和と差の積＝平方の差」というのがあり、これを使っています。「(a+b)(a-b)=a^2-b^2」

a^4-b^4=(a^2)^2-(b^2)^2
=(a^2+b^2)(a^2-b^2)
=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)

a^4+b^4は、これをaでもbでもくくり出すことができないでしょう。共通項がないのですから。

回答No.1

f272

(1)
a^4-b^4
=(a^2-b^2)(a^2+b^2)
=(a-b)(a+b)(a^2+b^2)
というのが標準的な解答だろう。
(2)
a^4+b^4=(a+(1-i)b/√2)(a+(-1+i)b/√2)(a+(1+i)b/√2)(a+(-1-i)b/√2)
と因数分解できるけど，複素数を使うのはなしでと言うことなのだろう。