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(1)ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc

(1)ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc    =…(a+b)(b+c)(c+a) (2)a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)    =…(a-b)(b-c)(c-a)           と問題があり、 (1)は対称式であり、(2)は交代式であると説明がなされていて、 さらに、  対称式は、a+b、b+c、c+a の1つが因数なら他の2つも因数  交代式は、(a-b)(b-c)(c-a) を因数にもつ。 と、説明がなされているのですが、なぜ、  対称式は、~他の2つも因数  交代式は、~を因数にもつ のかが分かりません。誰か知られている方がおられましたら、教えて下さい!!

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  • 回答No.9

たびたびすみません。#1です。頭を冷やして考え直しました。 ひょっとして質問者さんは、「#2さんの証明の後に、くだんの論法をして良いか」と聞いているんですか? だったらOKでしょう(ただし用語の間違いは直してください)。 でも、#2さんの証明法をしたのなら、「同様に、b-c、c-aも因数に持つ。」の方がはるかに簡単です。用語の間違いもせずにすみますし。 あと、前回の私の回答の最後の方で、「だから私は★の証明をしていません。」の★は、a-bをa+bと読み替えてください。

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  • 回答No.7

>P(a,c,b) はbとcを入れ替えた対称式なのでは、ないでしょうか? 失礼しました。てっきり#5さん(#2さん)のご回答に対する追加質問なので交代式と勘違いしました。 でもそうすると、今度は・・・ >P(a,b,c)=-P(a,c,b) だから、 が変です。対称式なら入れ替えても同じなので P(a,b,c)=P(a,c,b) が正しい。もっとも「a-c,b-c,c-aの一つを因数に持つなら残りの2つも因数」という命題は正しいですが。 あと、 >また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は の表現はおかしい。対称式はいくら入れ替えても対称式(だからこそ対称式)。交代式を入れ替えると符号は変わるけど、入れ替えたものも交代式。 対称式を入れ替えたら交代式になるということはありません。

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質問者からのお礼

御回答有り難う御座います。しかし、私が回答者様に勘違いをさせてしまったみたいです。よろしければ、補足質問に御回答頂けると、有り難いです。

質問者からの補足

banakonaさんは、勘違いしていませんよ。私がお聞きしている事は、 与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、符号が変わるので、 -P(a,c,b) になるのではないか? という事です。そこで、P(a,c,b)は、bとcを入れ替えた対称式なのではないか? という事です。

  • 回答No.6

>No.1さんのやり方で、以下のようにやっても、合っていますか? でしゃばりの#1です。 まず、題意に反します。対称式の方は「a+b、b+c、c+a の1つが因数なら」という条件がありますが、交代式の方は、無条件です。 仮に、対称式の方と同じ条件があったとしても、流れがおかしい。 >また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、 の後は  P(a,c,b)=(a-c)Q(a,c、b)   とすべきです。次の行は削除して、 >ここで、 >P(a,b,c)=-P(a,c,b) だから、 のあとが   P(a,b,c)=-(a-c)Q(a,c、b)                =(c-a)Q(a,c、b) となって、一応(c-a)が因数であることは示せるけど、前記条件がなくても因数に持つ。

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質問者からのお礼

御回答有り難う御座います。しかし、またまた、回答者様の御回答中に疑問に思う点が御座いましたので 、質問させて頂きます。また、お答え頂けると、有り難いです。

質問者からの補足

御回答有り難う御座います。回答者様の御回答中に、 >また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、 の後は  P(a,c,b)=(a-c)Q(a,c、b)   とすべきです。 とありますが、この場合、P(a,c,b) はbとcを入れ替えた対称式なのでは、ないでしょうか?

  • 回答No.5
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

>∴P(b,b,c)=0 >この事から、P(a,b,c)は(a-b)で割り切れる  と、なぜ、言えるのかが分かりません。 因数定理は知っていますか。 「多項式 F(x) に対し、F(a)=0 なら F(x) は x-a を因数に持つ」 P(a,b,c)をaに関する多項式とみなして、F(a)=P(a,b,c) と考えると、 F(b)=0 なので、F(a)は a-b を因数に持ちます。

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質問者からのお礼

御回答有り難うございます。しかし気になる点が御座いましたので、また、補足させて頂きました。どうかお答え頂けると、有り難いです。

質問者からの補足

No.1さんのやり方で、以下のようにやっても、合っていますか? 与えられた対称式P(a,b,c)において、例えば、(a-b)が因数なら、 P(a,b,c)=(a-b)Q(a,b,c)  とおける。 また、与えられた対称式P(a,b,c)において、bとcを入れ替えた交代式は、 -P(a,c,b)=-(a-c)Q(a,c、b)            =(c-a)Q(a,c、b)  とおける。 ここで、 P(a,b,c)=-P(a,c,b) だから、         =(c-a)Q(a,c、b) よって、与式P(a,b、c)は(c-a)も因数にもつ。 同様に、aとcを入れ替えた場合について行うと、 与式P(a,b、c)は(b-c)も因数にもつ。

  • 回答No.4

>P(a,c,b) という表現の仕方は、a,b,cから成り立っている多項式P という事でしょうか? そうです。あと、P(a,b、c)のbとcをひっくり返したということも表現しています。 ついでに答えてしまうと、 >P(b,b,c)=-P(b,b,c)  がなぜ、P(b,b,c)=0 になるのかが良く分かりません。そこを詳しく教えて下さい!! P(b,b,c)=-P(b,b,c) 右辺を左辺に移項して  P(b,b,c)+P(b,b,c)=0                 2P(b,b,c)=0                 ∴P(b,b,c)=0

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質問者からのお礼

御回答有り難う御座いました。

  • 回答No.3
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

>P(b,b,c)=-P(b,b,c)  がなぜ、P(b,b,c)=0 になるのかが良く分かりません。 x=-x なら x=0 でしょ。

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質問者からのお礼

御回答有り難う御座いました。しかし、まだ疑問に思っている事が御座いましたので、また、補足質問させて頂きます。どうかお答え頂けると、有り難いです。

質問者からの補足

回答者様のNo.2の回答の中の >a=bとすると、 P(b,b,c)=-P(b,b,c) ∴P(b,b,c) この事から、P(a,b,c)は(a-b)で割り切れる  と、なぜ、言えるのかが分かりません。ここの所を詳しく教えて頂けると、有り難いです。

  • 回答No.2
  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)

交代式とは、どの2つの文字を交換しても元の式と符号だけが異なる整式です。 P(a,b,c)=-P(b,a,c) a=bとすると、 P(b,b,c)=-P(b,b,c) ∴P(b,b,c)=0 つまり、 P(a,b,c)は(a-b)で割り切れるので、(a-b)を因数にもちます。 同様に、(b-c)、(c-a)も因数にもちます。

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質問者からのお礼

御回答有り難うございます。しかし、ご不明な点が御座いましたので、補足質問させて頂きます。また、お答え頂けると、有り難いです。

質問者からの補足

回答者様の回答の中の >a=bとすると、 P(b,b,c)=-P(b,b,c)  がなぜ、P(b,b,c)=0 になるのかが良く分かりません。そこを詳しく教えて下さい!!

  • 回答No.1

与えられた対称式P(a,b,c)において、例えば(a+b)が因数なら、   P(a,b,c)=(a+b)Q(a,b,c) と書ける。ここでbとcを入れ替えると   P(a,c,b)=(a+c)Q(a,c、b)  となるが、P(a,b,c)は対称式なので、P(a,b,c)=P(a,c,b) つまり、   P(a,b、c)=(a+c)Q(a,c、b) となるので、与式P(a,b、c)は(a+c)も因数にもつ。 同様のことをaとcを入れ替えた場合について行なえば、(c+b)を因数に持つことも示せる。 

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質問者からのお礼

御回答有り難うございます。しかし、気になる点が御座いましたので、補足質問させて頂きます。また、御回答頂けると有り難いです。

質問者からの補足

P(a,c,b) という表現の仕方は、a,b,cから成り立っている多項式P という事でしょうか?

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