確率変数

質問

X～N(30,6^2) Y～N(20,4^2)である変数X,Yがあり、互いに独立とする。
確率変数3X-13の取る値が確率変数6Y+17のとるあたい以上となる確率を求めなさい。
という問題がどのような流れで解いていったらいいのか分かりません。
どなたか計算の流れを教えてください。
お願いします。

回答No.5

alice_38

そうか、
元々は ∬[-∞＜w＜z＜∞] g(z;77,18^2) g(w;137,24^2) d(z,w) だものね。
失礼しました。
＃３は、t が非有界な一様分布になるからマズイのかな？

回答No.4

noname#227064

∫[-∞＜t＜∞] {∫[t≦z＜∞] g(z;77,18^2) dz}g(t;137,24^2)dt
又は
∫[-∞＜t＜∞] g(z;77,18^2){∫[-∞＜w≦t] g(w;137,24^2) dw} dt
ならPr(3X-13 >= 6Y+17)と一致するのですが、
∫[-∞＜t＜∞] {∫[t≦z＜∞] g(z;77,18^2) dz}{∫[-∞＜w≦t] g(w;137,24^2) dw} dt
ですと、11倍以上大きな値になってしまいます。

回答No.3

alice_38

そうかな？
∫[-∞＜t＜∞] {∫[t≦z＜∞] g(z;77,18^2) dz}{∫[-∞＜w≦t] g(w;137,24^2) dw} dt
も、値は同じだと思うけど。
ただし、g(x;m,s^2) は N(m,s^2) の確率密度関数。

回答No.2

noname#227064

Pr()を()内の条件を満たす確率とすると、求める確率は
Pr(3X-13 >= 6Y+17) = Pr(3X-6Y >= 30) = Pr(X-2Y >= 10)
となります。
ここで確率変数X-2Yの分布を求めると、X及びYが互いに独立であることから、平均が30-2*20 = -10、分散が(6^2)+(2^2)*(4^2) = 10^2の正規分布であることがわかります。
従って、
Pr(X-2Y >= 10)
= Pr({(X-2Y)-(-10)}/10 >= {10-(-10)}/10)
= Pr(z >= 2)
すなわち、標準正規分布に従う確率変数が2以上の値になる確率が答えとなります。
あとは、標準正規分布表やコンピュータを使って数値で得るだけです。

ANO.1の方法では正しい答えが得られないと思います。

回答No.1

alice_38

まず、Z = 3X-13, W = 6Y+17 と置いて、
Z と W の確率分布を求めます。
両者の密度関数がわかれば、
与えられた値 t に対して
Z≧t となる確率と W≦t となる確率が、
それぞれ求められるはずです。
それらの積を t で積分すれば完了です。
得られた式を求積する計算は、
少し難しいかもしれません。