積分についてです

質問

∫dx/√(-x^2+3x-2)と∫x^2/√(x^2+1)dxはどのように解けばよいでしょうか？

回答No.3

info22

#2です。
公式
∫dx/√(1+x^2)=arcsinh(x)＋C=log{x+√(1+x^2)}+C
（これは t=sinh(x),√(1+x^2)=cosh(t),dt=cosh(x)dxと変数変換すれば
導ける。）

および

x^2/√(1+x^2)が出てくる{x√(1+x^2)}の微分
を利用すると良い。

{x√(1+x^2)}'
=√(1+x^2)+(x^2)/√(1+x^2)
=(1+x^2)/√(1+x^2)+(x^2)/√(1+x^2)
=1/√(1+x^2)+2(x^2)/√(1+x^2)
これから
(x^2)/√(1+x^2)=(1/2){x√(1+x^2)}'-(1/2){1/√(1+x^2)}

以上から、求める積分をIとおくと
I=(1/2)x√(1+x^2)-(1/2)∫dx/√(1+x^2)
= ...　
あとは分かりますね。

（参考）双曲線関数 y=sinh(x)など
x=arcsinh(y)=log(x+√(1+x^2)) など
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

２回も答えていただきありがとうございました

回答No.2

info22

丸投げはだめです。自力でできるところは自分でやって、その過程を補足に書いて下さい。そして行き詰っている所、分からない所だけ質問するようにして下さい。

とりあえず前半の考え方だけ。

(-x^2+3x-2)=-(x^2-3x)-2=-(x-(3/2))^2+(9/4)-2
=(1/4)-(x-(3/2))^2=(1/4){1-(2x-3)^2}
と変形できるので、t=2x-3 と置換積分すると良いでしょう。
(dt=2dx,dx=(1/2)dt
I=∫dx/√(-x^2+3x-2)=∫(1/2)dt/{(1/2)√(1-t^2)}
=∫dt/√(1-t^2)
さらに、t=sin(u),dt=cos(u)duと置換積分すれば
√(1-t^2)=|cos(u)|
I=∫cos(u)du/cos(u)=∫du=u+C (cos(u)≧0の時)
=∫cos(u)du/(-cos(u))=-∫du=-u+C(cos(u)≧0の時)
uを元の変数に戻すだけ。

お礼

たすかりました
ありがとうございます

回答No.1

Tacosan

1/√(1-x^2) とか 1/√(1+x^2) なり √(1+x^2) の積分になんとかして帰着する.