積分を教えて下さい

質問

∫（0→1） x^3×√（x^4 +1）dx
と
∫（1→2） logx/(1+x)^2 dx

の解き方が分かりません。
何かを置き換えるのでしょうか？
教えて下さい。

回答No.1

info22_

前半)
I=∫（0→1） x^3×√（x^4 +1）dx
x^4=tとおいて置換積分する。
{x|0→1}→{t|0→1}
4x^3dx=dt
(x^3)√(x^4 +1)dx=(1/4){(t+1)^(1/2)}dt
したがって
I=(1/4)∫(0→1){(t+1)^(1/2)}dt
=(1/4)[(2/3)(t+1)^(3/2)] (t:0→1)
=(2√2 -1)/6

後半）
I=∫(1→2) log(x)/(1+x)^2 dx
log(x)=tとおいて置換積分する。
x=e^t,　dx=dte^t
{x|1→2}→{t|0→log(2)}
log(x)/(1+x)^2 dx=tdt(e^t)/(1+e^t)^2
I=∫(0→log(2)) t(e^t)/(1+e^t)^2 dt
=∫(0→log(2)) t{-1/(1+e^t)}' dt
部分積分して
= [-t/(1+e^t)](t:0→log(2))+∫(0→log(2)) 1/(1+e^t) dt
= -log(2)/3 +[t-log(1+e^t)](t:0→log(2))
= -log(2)/3 +log(2)-log(3)+log(2)
= (5/3)log(2)-log(3)