定積分

質問

∫[0→1](logx)dx
を求めよ。
これを計算すると
(x*logx)[0→1]-x[0→1]
そこで　logx　って0にならないですよね・・・。
どうゆうことなのか分かりません。
すいませんが宜しくお願い致します。

回答No.2

kishiura · ベストアンサー

理系大学4年です。いやー、懐かしいです、広義積分。
show-tenさんは高校生かな？頑張ってくださいね。
さて、lim x→0　xlogx で困っているということですね。
totoro7963さんのおっしゃる通りに
lim ε→∞ (-1/x*logx)として考えるのもよろしいかと思いますが、
これも厳密な証明が必要で、煩雑になります。
そこで、もっと簡便なやり方を考えました。
∫[0→1]logx とは、x軸、y軸およびy=logx　で囲まれた面積です。
更に、y=logxの逆関数はy=e^xなので、先の広義積分は
∫[-∞→0] e^x dx　となり、1に収束します。
ただし、先の広義積分は0 < x < 1では常にy < 0　となるので
最終的な答えは、「－１に収束する」です。

お礼

回答ありがとうございます。
理解できました。
逆関数の e^xを使うのですね。なるほど。
ありがとうございます。

回答No.5

kishiura

煩雑になるでしょう？
やっぱり面積として考えるのが得策と思いますがね。

お礼

回答ありがとうございます。
面積で考えたほうが確かに簡単ですね。

回答No.4

totoro7683

No1です。
>1+y+y^2/2<e^yだから
↑ここが理解できません。

これはテイラー展開のy＾２の項までを取ったものですが、
証明は次のようにすると良いでしょう。
f(y)=e^y-(1+y+y^2/2)
f'(y)=e^y-(1+y)
g(y)=e^y-(1+y)とおく。
g'(y)=e^y-1
y>0でe^y>1 より
y>0でg'(y)＞０
従ってｇはｙ＞０で単調増加
ｇ（０）＝０より
y>0でg(y)>0
よってy>0でｆ'(y)=g(y)>0
y>0でｆは単調増加　ｆ（０）＝０より
ｙ＞０でｆ（ｙ）＞０

＞これでなぜ
lim(y→∞)y/e^y→0
になるのでしょうか。
これははさみうちの原理を使っています。
０＜(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
はいいですよね。
ｙ＞０ならばyに関わらず成り立ちます。
y→∞でy/(1+y+y^2/2)→０
だからはさみうちの原理から
y/e^y→０
　がいえます。

お礼

度々のご回答ありがとうございます。
内容の理解はできました。
テイラー展開ですか。勉強してみます。

回答No.3

totoro7683

No.1です。
lim(ｘ→∞)((1/x*logx)=0
の証明ですが
x=e^yとおきます。
lim(ｘ→∞)((1/x*logx)=lim(y→∞)(y/e^y)
ここでy>0のとき
1+y+y^2/2<e^yだから
１/(1+y+y^2/2)>1/e^y
したがって
０＜(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
y→∞でy/(1+y+y^2/2)→０

お礼

度々回答ありがとうございます。
>x=e^yとおきます。
>lim(ｘ→∞)((1/x*logx)=lim(y→∞)(y/e^y)
↑ここまでは理解できます。

>ここでy>0のとき
>1+y+y^2/2<e^yだから
↑ここが理解できません。
なぜ
1+y+y^2/2
の数式が出てきたのでしょうか？

>１/(1+y+y^2/2)>1/e^y
>したがって
>０＜(y/e^y)<y/(1+y+y^2/2)
↑ここは前の数式が理解できれば分かります。

>y→∞でy/(1+y+y^2/2)→０
↑ここもよく分からないです。
y/(1+y+y^2/2)→０
は分母にy^2があるし分かるのですが、これでなぜ
lim(y→∞)y/e^y→0
になるのでしょうか。

ほんとにバカですいません・・・。
お時間があれば教えてください。

回答No.1

totoro7683

これは広義積分といわれる積分で
∫[0→1](logx)dx
はlim(ε→0)∫[ε→1](logx)dxを意味しています。
従って求める積分は
lim(ε→0)((x*logx)[ε→1]-x[ε→1])
となります。
このなかで問題となるのは
lim(ε→0)((ε*logε)の計算ですが
これはε=1/xとおき
lim(ｘ→∞)((1/x*log1/x)
=lim(ｘ→∞)((-1/x*logx)=0
と計算できます。

お礼

回答ありがとうございます。
ただ
lim(ｘ→∞)((-1/x*logx)=0
はなぜ0になるのでしょうか？