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積分の微分
以下x＞0 F(x)=∫[x,x^2]logtdt=∫[1,x^2]logtdt-∫[1,x]logtdt よってdF(x)/dx=logx^2-logx=logx となりました。答えは（4x-1）logxです。 間違いをおしえてください！
- doragonnbo-ru
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大意で #2 に賛成なんだがちょっとだけ: まず, この問題だけに関していえば log x の原始関数を求めなければならない理由はありません. log x の原始関数を G(x) とでもおけば F(x) = G(x^2) - G(x) で, これを微分したときに dG(x)/dx = log x となることだけ頭にあればいい. まぁ合成関数が微分できるかどうか, だな. あと, 特に 「0<c<xを満たすc」 をとりあげる必然性もありません. もちろん「1 を下端におく」必然性があるわけでもないですが.
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- chikorin00
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y=x^2とおけば、 (d/dx)∫[1,x^2]log(t)dt=(dy/dx)(d/dy)∫[1,y]log(t)dt =2xlog(y)=2xlog(x^2)=4xlog(x) となると、 dF(x)/dx=4xlog(x)-log(x)=(4x-1)log(x) というわけですよ。
- yyssaa
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補足 間違いを指摘して欲しいといったんですが・・・ ＞∫[1,x^2]logtdt≠∫logx^2dx ∫[1,x]logtdt≠∫logxdx
- spring135
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logtの積分は極めて基本的なもので、しっかりできることが必要です。 部分積分を使えばよろしい。 ∫logtdt=∫1*logtdt=∫f(t)'g(t)dt=f(t)g(t)-∫f(t)g(t)'dt=tlogt-∫t/tdt=tlogt-t ここで1=f'(t), logt=g(t)とみています。よって F(x)=∫[x,x^2]logtdt=[tlogt-t][x,x^2]=x^2logx^2-x^2-(xlogx-x)=(2x^2-x)logx-x^2+x dF(x)/dx=(4x-1)logx+(2x^2-x)/x-2x+1=(4x-1)logx 質問者の間違い点 d[∫[1,x^2]logtdt]/dx=logx^2としているところです。logtの積分を行いtにx^2を代入してxで微分する操作をいい加減にやっています。 また1を途中にかませたような計算をしていますが やるとしたら1の代わりに 0<c<xを満たすcでしょう。x<1の場合は質問者のやり方は変な感じがします。
- yyssaa
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＞logt=sとおくと、(1/t)dt=ds、dt=tds=e^sdsだから ∫logtdt=∫se^sds=se^s-∫e^sds=se^s-e^s+C(定数) =(s-1)e^s+C=(logt-1)t+Cだから F(x)=∫[x,x^2]logtdt={(logt-1)t}[x,x^2] ={(logx^2-1)x^2}-{(logx-1)x} =(2x^2-x)logx-x^2+x よって dF/dx=(4x-1)logx+(1/x)(2x^2-x)-2x+1 =(4x-1)logx+(2x-1)-2x+1=(4x-1)logx
補足
間違いを指摘して欲しいといったんですが・・・
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お礼遅くなりました！ありがとうございます！！！