微分積分学です

質問

∂f/∂x (x,y) と ∂f/∂y (x,y) を
計算しなさい、という問題が出ました。

logx/y = f(x,y) なら
logx/y = logx - logy に直して

∂f/∂x (x,y) = 1/x
∂f/∂y (x,y) = -1/y ですよね。

・arcsin(xy) = f(x,y)
・y×arctan(x/y) = f(x,y)
の2つが分かりません(;_;)

どなたか教えて
いただけないでしょうか？
よろしくお願いします(>_<)

回答No.1

info22 · ベストアンサー

前半はいいでしょう。

後半は合成関数g(h(x,y))と考えて偏微分するだけです。
∂g/∂x=(dg(u)/du)∂h(x,y)/∂x (ただし　u=xy)
∂g/∂x=(dg(u)/du)∂h(x,y)/∂y (ただし　u=x/y)

質問では
h(x,y)=xy=u　や　h(x,y)=x/y=u
と考えればいいです。

また
g(u)=arcsin(u) や　g(u)=atactan(u)
のuでの微分 g'(u)はお分かりでしょうね？
分かるなら補足にお書き下さい。

これをヒントにして、自力解答を作り、その過程の計算式の詳細を補足に書いて下さい。その上で分からない箇所があれば行き詰っているところを質問して下さい。

回答No.3

info22

#1です。
アドバイスを試してまだ分からないなら、
やったことの詳細を補足に書いた上で、分からない箇所を補足質問して下さい。

追加ヒント）
>g(u)=arcsin(u) や　g(u)=arctan(u)
この微分の公式は参考URLにも載っています。
{arcsin(u)}'=1/(√(1-u^2))
{arctan(u)}'=1/(1+u^2)

参考URL：

http://ksgeo.kj.yamagata-u.ac.jp/~kazsan/class/geomath/bibun-kiso.html

回答No.2

arrysthmia

偏微分は、他の変数を定数とみなして
微分するだけです。
log(x/y) ができているんだから、
解っているとは思いますが、
わざわざ (log x)-(log y) を経由している
辺り、ちょっとビミョーな気もする。
解っているんでしょうね？

難しくはないハズです。
y = ax~3 を dy/dx = 3ax~2 と微分するとき、
a は定数とみなしている訳で、
dy/dx = (∂y/∂x)(dx/dx)+(∂y/∂a)(da/dx) を
意識することは、普通は無い訳ですから。

後は、単に arcsin や arctan の導関数が解るか？
という話ですが、
そちらは、逆関数の微分dy/dx = 1/( dx/dy ) を使うだけです。