• ベストアンサー
  • 困ってます

微分方程式

y'=(4x^2+xy+y^2)/x^2 , y(1)=0 を解いたら y=2xtan(logx^2+C)となり, y=2xtan(logx^2)となりました.合ってますか? また確かめようと思ったんですがtan(logx^2)の微分がわかりませんでした.どうやるんですか? またもし初期値がなく微分方程式を解くだけならy=2xtan(logx^2+C)をy=2xtan(log(x^2・C))とやってもいいのでしょうか? だめならなぜlogx^2+C=logx^2+logC’=log(x^2・C’)とやってはいけないのでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数3
  • 閲覧数145
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3

>tan(logx^2)の微分がわかりませんでした.どうやるんですか? 合繊関数の微分を使えば簡単。事前にlog(x^2)=2log(x) (ただしx>0)としておけば (tan(2log(x))'=1/{cos(2log(x))^2*2/x=2/[x*{cos(2log(x)}^2] となります。 >logx^2+C=logx^2+logC’=log(x^2・C’)とやってはいけないのでしょうか? そのように変形してもOK。問題ありません。前の形にとどめても後ろの形に変形してもどちらで回答してもさほど問題は無いでしょう。どちらの方が使いやすいか、で好きなように使い分けてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

どっちでもいいんですね.ありがとうございました.

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

No.1のものです。 一つ目の式を打ち間違えたので訂正です。 y=txより dy/dx=dt/dx・x + t です。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

  • 回答No.1

質問の問題を解くと以下のようになりました。 t=y/xとおくと,y=txより、 dy/dx=dt/dx・t。 これを微分方程式に代入すると, dt/dx・x+t = 4+t+t^2 dt/dx・x=t^2+4 1/(t^2+4)dt=1/x・dx 変数変換 t=2tanθとすると, dt=2/cos^2θ・dθ 1/(t^2+4)=cos^2θ/4 であるので, 1/2・dθ=1/x・dx となる.故に、 θ=2log(x) + C となる.θ=tan^-1(t/2)=tan^-1(y/(2x))であるので、 代入すると, y = 2x・tan(2log(x)+C) = 2x・tan(log(x^2)+C) となり、結果は同じとなりました。積分定数は条件よりC=n・π。ただし、nは整数. logx^2+C=logx^2+logC’=log(x^2・C’)については問題があると思います。 本来、積分定数Cは任意定数ですが、logの中に入れると0より大きい正値に限定されて しまいます。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 微分方程式が解けません

    xy'logx=xy という微分方程式は、どのように解くのですか?

  • 微分方程式がわかりません

    xy'logx=xy と xy'logx=ylogy という2つの微分方程式の解はどのように求めればいいのでしょうか?

  • 微分方程式についてわからないことが・・・

    今 y'=-1/xy の微分方程式をときました。 ∫y dy=∫-x dx 1/2×y^2=-log|x|+C =-log{Cx{ e^(1/2×y^2)=-|Cx| =Cx これを微分方程式の解とします。 これを微分して与式になることを確認したいのですが 答えの両辺をxで微分して ye^(1/2×y^2)×y'=C 両辺にxかけて xyy'e(1/2×y^2)=Cx           =e^(1/2×y^2) よってy'=1/xy となり-がでてきません。 計算途中でC=±Cとしているので符号がおかしくなるのはわかりますが、確認の際は勝手にそれを考慮して-をつけてもいいのでしょうか? どのように解答をかいていけばいいのでしょうか? わかるかたお願いします。

  • 微分方程式

    微分方程式 dy/dx-2xy=2xy~2 について。 (1)z=1/yとするとき、z=z(x)が満たす微分方程式を求めよ (2)(1)で求めたzに対する微分方程式の一般解を求めよ (3)yの一般解および特殊解を求めよ という問題があります。 これは教科書にあるような、微分方程式の公式を用いて解くのでしょうか よく分からないので詳しく教えてください。

  • 微分方程式

    次の3つ微分方程式はどのように解けばよいのですか? 出来ればそれぞれの微分方程式の名前も教えてください (1)y'=(1+x+3y)^2 (2)(x^2+y^2-a)(x+yy')=2xy(y-xy') (3)2xy^2y'+y+y^3=2(1+y^2)y'

  • 微分方程式

    微分方程式 以下の方程式の解がわかりません。色々調べてはみたのですが。 どうやら1階の微分方程式に帰着できるようです。 xy''+y'=4x (1+x^2)y''+2xy'=2/x^3 大変お手数ですが、どなたかわかる方ご教授願います。 よろしくお願いします。

  • 微分方程式の問題です!!

    微分方程式の問題です。y'=(yの二乗-1)tan(x)という微分方程式を解きたいのですが、積分定数Cの使い方に困っています。下は解答なのですが、 (1) y'=(yの二乗-1)tan(x) (2) 1/(yの二乗-1)(dy/dx)=tan(x) (3) (1/2)log{(y-1)/(y+1)}=-log(cos(x))+c (4) (y-1)/(y+1)=1/(C×cos(x)の二乗) (5) y=(C×cos(x)の二乗+1)/(C×cos(x)の二乗-1) とあるのですが、(3)から(4)になるのがよく分かりません。積分定数Cの位置がおかしくないですか? (y-1)/(y+1)=C/(cos(x)の二乗)だと思う(というよりどっちでもいいと思う)のですが、これではダメでしょうか?回答よろしくお願いします。

  • 微分方程式

    微分方程式を2問ほど解けません お願いします 1問目 (x+y)y'+x-y=0 y'=((y/x)-1)/(1+(y/x)) y/xをtとおくと y’=t+xt' 以上より (t-1)/(1+t)=t+xt' (t+1)dt/(t^2+1)=-dx/x・・(1) 左辺=-logx+logC まではわかるのですが(1)の右辺が解けません 2問目 y'+2xy-x-x^3=0 y'+2xy=x^3+x 両辺にexp(x^2)をかけて exp(x^2)y=∫(x^3+x)exp(x^3)dx ここまではできたのですが右辺の積分ができません どちらか片方でも良いので教えてもらえると助かります

  • 微分方程式

    次の微分方程式の一般解を求めよ。 2x+y+(x-2y)y'=0 u=y/xとおいて u'x=(-2-2u+2u^2)/(1-2u) ∫(1-2u)/(2-2u+2u^2)du=∫1/xdx -1/2∫(-2+4u)/(2-2u+2u^2)du=∫1/xdx log|(2-2u+2u^2)^-1/2|=log|x|+C log|{(2-2u+2u^2)^-1/2}/x|=C (2-2u+2u^2)^-1/2=Cx 2y-2xy-2x^2=1/c^2 2y-2xy-2x^2=c こうなったのですが、答えが違います。 この計算方法は間違っているでしょうか?? 特に -1/2∫(-2+4u)/(2-2u+2u^2)du=∫1/xdx log|(2-2u+2u^2)^-1/2|=log|x|+C log|{(2-2u+2u^2)^-1/2}/x|=C ここらへんがよくわかりません。

  • 数学の微分方程式の問題です

    微分方程式の同次形の問題が分かりません。 次の微分方程式を解け 1.(2x^2)(y')=(x^2)(y^2)-2xy-1 [u=xyとおく] 2.y'=-{x(x^2+y^2+1)}/{y(x^2+y^2-1)} [u=x^2+y^2とおく] です。 途中の過程も書いてあると助かります。 どなたかお願いします。