積分（見分け方）

質問

次の定積分についてなんですが、（ここでは、定積分の定義域は関係ないとおもうので省略しますが）
(1)∫x(x-1)^4dx (2)∫(x+2)cosxdx (3)∫(x^2)/√(1+x)^2 dx　(4)∫dx/(e^x -1) (5)∫(x+2)√(3x+4)dx　
(6)√(9-x^2)dx (7)∫dx/(x^2 +1)　

これらの問題で、(1)～(2)は片方を微分した形に変化したやつから求める部分積文法、(3)～(5)はt=○○という感じで、dx=○○dtとしたときに　dxにうまく代入して計算する　(6)～(7)は３～５と同様に置き換えがあるのだが、x=3sinθ　とおいたり、実際にある数字からでなく別の数字を無理やり置く。

また、∫x^4/(x^2-1) dxも、これも置き換えとかするのかな、と思ったらこれは普通に中身を(x^2 +1+ 1/x^2 -1)のように分解して普通に積分。

これらの問題は一見してどれも違いがよくわからないのに、それぞれ解法が違って初めの段階でどれでやればいいのか？というのが検討がつきません。
それぞれ、模範解答を見ると理解できるのですが、初めの段階が問題を見て判断できないので困っています。それぞれの違いなど、そのポイントをお願いします

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

基本は、「試行錯誤」ですね(ぉぃ)。
「試してみて上手くいく方法で求める」という感じです。

簡単に積分が分かるのは、
x^n,sinx,cosx,e^x
くらいしかありませんから、この積分に帰着させる感じでしょうか。

∫xcosxdx,∫x^2e^xdxのような
多項式×三角関数、多項式×指数関数
のパターンは、多項式を微分、三角関数を積分する『部分積分』で求まります。(部分積分を何度も使っていけば、多項式の方はいつか定数になりますから、三角関数,指数関数の積分になります)

『不定積分が求まる関数』×対数関数
のパターンは、前者を積分、対数を微分する『部分積分』で求まる事が多い(のか？)

置換の基本は、「複雑なものを文字で置く」かな？(複雑すぎるものを文字で置くとどうしようもないですがｗ)
具体的には、√の中身、分母、三角関数等各種関数の中身等が複雑な場合には、それを文字で置くとかです。

例えば。
>(1)∫x(x-1)^4dx
4乗の中身が複雑ですので、t=x-1で置換。
>(5)∫(x+2)√(3x+4)dx
は√の中身が複雑なので、√の中身を文字で置く(t=3x+4などとおく)
あるいは、t=√(3x+4)のようにおくのも有効かもしれません。
>(4)∫dx/(e^x -1)
は、分母が複雑なので、分母を文字でおく(t=e^x-1とおく)
>(3)∫(x^2)/√(1+x)^2 dx　
(√と2乗があるので、√が消えるような気もしますが・・・)
これも、(5)と同じく、√の中身、もしくは、√全体(つまり、分母)を文字で置くのが有効かもしれません。

>(6)√(9-x^2)dx
>(7)∫dx/(x^2 +1)　
これは複雑なものを文字で置くってよりは、経験ですね。

"A^2-x^2"の形のものを含んでいたら、「x=Asinθ」で置換すると上手く行く事が多いんです。なので、
>(6)√(9-x^2)dx
では、x=3sinθで置換してみるんです。

一方、"x^2+A^2"の形のものを含んでいたら、「x=Atanθ」で置換すると上手く行く事が多いんです。なので、
>(7)∫dx/(x^2 +1)　
では、x=tanθで置換してみるんです。

>また、∫x^4/(x^2-1) dxも、これも置き換えとかするのかな
有理関数(多項式／多項式の形のもの)が登場して、
「分子の次数」＞「分母の次数」
であったら、分子の次数を下げるのが鉄則です。(不定積分に限らない)

他にもありますが、基本的には上のようなイメージでやれば不定積分が求められる事が多くなると思います。といっても、最初に書いた通り、基本は「試行錯誤」ですが^^;

※上にちょろちょろ書いたやり方は模範解答と違うかもしれませんし、そのやり方で上手くいくかどうかも確かめていません。

お礼

かなりいいポイントを一杯書いてくれてありがとうございました!!!　昨日学年末だったわけですが、夜これを見てからできたので、logがあるから・・・　などポイントを思い出してやってうまくいきました！　でもやっぱり色んなパターンに慣れないとダメですね。。。時間が足りませんでした・・・　でもおかげで７０点くらいはいきそうです、ありがとうございました！！