この図形の問題がわかりません

質問

見た感じでは簡単そうなのですが、どうやって式を立てていいのか見当がつきません。

問題は次のようなものです。

長方形ＡＢＣＤ∽長方形ＥＣＦＧで、∠ＢＣＥ＝４５°、点Ｅ、Ｇは長方形ＡＢＣＤ内にある。

２つの長方形の相似比ＡＢＣＤ：ＥＣＦＧ＝１：ｔとするときのｔの値を、式または定数であらわしなさい。
必要ならば図中の線分を用いてもよい。ただし、その場合はできるだけ簡単な式にしなさい。

どなたが、お分かりになった方がいらっしゃいましたら、回答よろしくお願いします。
よろしければ、なるべく易しく教えていただけるとありがたいです。

回答No.6

nabeyann

No５の追申
（ HCは＞0の変数）これ変更
　　　　　　（HC＞０かつ”点Ｅ、Ｇは長方形ＡＢＣＤ内にある”の条件を満たす範囲内）
　　AB:BCの比率が判んないと特定できない。
　　かりに、正方形なら
　　　　　　　　　　　　１≧HC＞０
それにしても、
　　この問題、問題に成り立てない、間違いありませんか

回答No.5

nabeyann

No３です　ごめん！めんご！間違っていた m(_)m
でも考え方は、同じだよ！

∠BCE＝45°、点E＆Gが□ABCD内に在るから□ABCDと□ECFGは点Cを共通とし、同一平面上にあります。
相似長方形ですから∠CEG＝90°点Gの座標は何処にあるのでしょう。
辺CD叉は辺CDの延長線と辺EGの延長線上の交点をＨとすると　　　
∠BCE＝45°∠CEG＝∠CEH＝90°△HCEは　どんな三角形でしょう。
　　∠CEHを頂点とする直角二等辺三角形になります。

相似比　□ABCD：□ECFG　＝　1：ｔ　だから
　　　AB　：　EC ＝　1：ｔ
　　　　　ｔ*　AB　＝　EC
　　　　　　ｔ＝EC　・・・・これ答え？
EC　＝　HCsin45°だから
　　　ｔ＝HC*sin45°＝HC/√2
（ HCは＞0の変数）
　　　　　　　　　　　でもこんな問題デマス？

回答No.4

mirage70

長方形ABCDに長方形ECFGと書いてある通り対比させると、
AB:EC,BC:CF,CD:FG,AD:EGとなります。
(1)AB>CDとすると、条件より∠BCE=45°であり、
∠ACD<45°であります。∠ACD=∠ECHとなるようにAB上に点Hを線分ABに取ることが出来ます。
よって、線分CH上にEに対するGはCHの範囲内で存在しますのでただ１つに決まるものではありません。
即ち、長方形ECFGは幾らでもとれますので、何かの条件が抜けているのではないですか?
(2)AB<CDとすると、Hは線分ABの延長上になるので、Gは長方形内に存在しないので、(1)のみの時の存在になります。
対比させる辺を変えたとしても、(1),(2)の応用となりますので、何か条件が抜けていると思います。
よって、tを定数で表すことは出来ず、線分CH上に存在するEの条件を出して、辺の比でしか表せないのではないですか?

回答No.3

nabeyann

宿題ですか、ずるいですね
問題を図示すると簡単に解けまよ
∠EBC＝45°、E＆Gが□ABCD上に在るから□ABCDと□EGFCは同一平面上にあります。
長方形ですから∠CEG＝90°点Gの座標は何処にあるのでしょう。
　　BEの線上にあります　　　
∠EBC＝45°∠CEG＝∠CEB＝90°△BCEは　どんな三角形でしょう。
　　∠CEBを頂点とする直角二等辺三角形になります。

相似比　□ABCD：□EGFC　＝　1：ｔ　だから
　　　BC　：　EC ＝　1：ｔ
　　　　　ｔ*　BC　＝　EC
EC　＝　BCsin45°だから
　　　ｔ＝1*sin45°＝1/√2
sin 変りに、三平方の定理で説明しても良いですよ。

回答No.2

kony0

「点E,Gは長方形ABCDの辺上にある」として、考えます。

点E,Gが長方形のどの辺上にあるかは、ABとADの辺の比によってまちまちです。
1. 0<(AB/AD)<=1/2のとき…EはAD上、GはBC上
2. 1/2<(AB/AD)<1のとき…EはAD上、GはAB上
3. AB/AD=1のとき…E=Aとなり、Gは存在しない
4. 1<(AB/AD)<2のとき…EはAB上、GはAD上
5. (AB/AD)>=2のとき…EはAB上、GはDC上

このうち、3.は明らかに不適であり、1.と5.の場合はECFGが正方形になってしまうので、ABCDと相似になりえません。
また、2.のときは、EG<ECとなってしまいますが、そもそもAD>ABであることから、相似の対応順を考えると不適となります。

残るのは4.の場合のみで、
AE=a, EB=bとおくと、
EG=(√2)a, EC=(√2)b
求める値tは、t=EG/AD=(√2)a/b

さて、AB:AD=EC:EGより、(a+b):b=(√2)b:(√2)a
これよりa^2+ab-b^2=0を解いて、a={(-1+√5)/2}b

と、こんな感じで解けます。

回答No.1

kony0

「点E,Gは長方形ABCDの辺上にある」というのであれば、t=(√5-1)/√2だと思いますが・・・