一次関数の問題です（図形絡み）

質問

底辺BC=12、高さAH=10の鋭角三角形ABCに長方形PQRSが内接している。
PQ=x として、長方形PQRSの面積を最大にするｘの値を求めよ。

という問題なのですが、長方形の横の長さであるSPをあらわすやり方がいまいちよくわかりません。相似を使って出すような気はするのですが・・・
どのようにあらわせばよいのでしょうか。そうすれば解けると思いますので、教えてください。

回答No.3

info_22_ · ベストアンサー

△SPB∽△AHBより
　SP/AH=SB/AB
=(AB-AS)/AB=1-AS/AB
　∴SP/10=1-AS/AB　…(1)

△ASR∽△ABCより
　AS/AB=SR/BC
=PQ/BC=x/12 …(2)
(1)、(2)より
　SP/10=1-x/12
∴SP=10-(10/12)x=10-(5/6)x=5(12-x)/6

これでSPが出ましたね。

□PQRSの面積Sは
　S=PQ*SP=5x(12-x)/6=30-(5/6)(x-6)^2≦30(等号x=6の時)
なので正方形の時最大ということですね。

お礼

教えてもらったやり方でやると、すっきり納得がいくように解けました。
ありがとうございます。

回答No.2

ykskhgaki

x = 12 のとき SP = 0
x = 0 のとき SP = 10

以上より
SP = 10(12 - x)/12

回答No.1

wkbqp833

まず、BC=12 PQ=x から、BP=(12-x)/2

AH:HB=SP:PB=10:6=5:3

∴ SP=(12-x)/2 * 5/3 = 5(12-x)/6

補足

すみません、タイトルが間違ってました。２次関数の問題でした。

少し気になったのですが、BPを（１２-x）/2といきなり置いているのは、
△BSP≡△CRQとなるから、ということでしょうか。（直角三角形で、斜辺と他の一辺の長さが・・・という理由で）

あと、SP:PB=10:6となる部分だけちょっと分からないのですが、
そこはどのような理由でその値になるのですか？もしよろしければ教えてください。