放物線上の点のある演算が結合法則を満たすこととパスカルの定理の関連

質問

http://www.chart.co.jp/subject/sugaku/tsusin/st39/st39_3.pdf
の§2を参照しています。
y=x^2上の点E(1,1),A(a,a^2),B(b,b^2)
において、演算A・Bで表される放物線上の点を、
「A・BとEを結ぶ直線」と「AとBを結ぶ直線」がy軸上で交わるように定めます。
ちなみに、A・B(ab,a^2b^2)となります。
このとき、(A・B)・C=A・(B・C)という結合法則が成り立ちます。
座標を用いると簡単に確かめられますが、このことの背景にパスカルの定理があるようなのです。
放物線上の点のある演算が結合法則を満たすこととパスカルの定理とはどのような関連があるのか、具体的教えてただけないでしょうか。

回答No.6

koko_u_u

>パスカルの定理が二次曲線に関するものということは十分知っています。
最初の補足からは「十分知っている」ことが読み取れません。
さらなる補足をどうぞ。

回答No.3

koko_u_u

>放物線上の点のある演算が結合法則を満たすこととパスカルの定理とはどのような関連があるのか

ANo.2 の方がおおよそ回答されているので、
あとは自分で「パスカルの定理」について更に勉強するとよいでしょう。

補足

ANo.2 の方のおおよその回答が頓珍漢なことは素人目にもわかるのですが。
パスカルの定理が二次曲線に関するものということは十分知っています。

回答No.2

kabaokaba

実験してないし，証明もつくってないから
はずしてたら申し訳ない．

これ，パスカルの定理というよりも
これの双対の「ブリアンションの定理」かな．
双対だからパスカルの定理でもいいのかもしれない．

A，B・C，A・B，C，原点0，無限遠点∞の六点が
適切な順序で並んで（これは演算の意味からわかるはず），
適切に線分を3本ひくと，それらが一点Pで交わる（ブリアンション）．
その一点PとEを結んだ直線が
曲線と交わる点が，A・(B・C)であり同時に(A・B)・Cになる
ということなのでしょう．

これは放物線だけでなく，円錐曲線一般に成り立つはずです．
したがって，質問者の補足にある「パスカルの定理」では
不足で，「円錐曲線」であることが必要です．
円で絵を書いてみればわかりやすいかもしれません．
・円を書いて，何でもいいからそれを横切る直線を書く
（これは放物線の例のときのy軸に相当）
・円周上の一点をとる（これはE(1,1)に相当）
これをスタートにして，円周上にA，B，Cをとって
A・Bなどを書いていけばうまくいくはず．

回答No.1

koko_u_u

じゃあ、「パスカルの定理」を補足にどうぞ。

補足

[パスカルの定理]
円Oに内接する六角形ABCDEFにおいて，対辺ABとDE，CDとFA，BCとEFの交点ををそれぞれP，Q，Rとするとき，この3点は一直線上にある。