2つの放物線群の中に常にある点がある条件

質問

２つの放物線 y=ax^2+b, y=bx^2+ax によって囲まれた部分の中に常に点 (2,2) が存在する。
このとき，点 (a,b) の存在する範囲を求めよ。

どのように考えればよいのでしょうか?

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

ああ、そうか。二次方程式 ax^2 + b = bx^2 + ax の
判別式が (a-2b)^2 なので、交点は常にありますね。
「囲む領域」があるかどうかは、a≠2b 次第ですが。

「囲む領域」が ax^2 + b ＜ bx^2 + ax なのか
ax^2 + b ＞ bx^2 + ax なのかが、a-b の符号で
逆転しますから、a≧b と a＜b とで場合分けは必要
になるでしょう。

{ a≧b かつ (2^2)a + b ＜ 2 ＜ (2^2)b + 2a } または
{ a＜b かつ (2^2)b + 2a ＜ 2 ＜ (2^2)a + b } が
答えになります。

a＝b, 4b + 2a ＝ 2, 2 ＝ 4a + b の三直線を
座標面上に図示すれば判るように
{ a＜b かつ 4b + 2a ＜ 2 ＜ 4a + b } は空集合なので、
{ a≧b かつ 4a + b ＜ 2 ＜ 4b + 2a } だけでよいですね。

お礼

ありがとうございます。
場合わけで、一方が空集合になることには気づきませんでした。

回答No.6

alice_44

いや、A No.5 で書いたのは、出題の文が適切か？
問題がきちんと定義されているか？という話。
答から題意を推測せよと言うのなら、試験でも
問題に答の値を付記せねばならないハメになる。

お礼

ありがとうございます。
問題文は正確です。
二つの方程式を連立してxの2次方程式にして判別式を考えると0以上なので、2つの放物線は交わると思います。

b≦a、
b≦-4a+2、
b≧(-1/2)a+1/2

という答えのうち、2つ目と3つ目は、放物線に(2,2)を代入した式と思われますが、
1つ目のb≦aの意味が分からないです。

回答No.5

alice_44

放物線が二交点を持たねばならないか否か
については、題意不明瞭ではないか？

お礼

みなさまありがとうございます。

b≦a、
b≦-4a+2、
b≧(-1/2)a+1/2

というのが答えだそうです。

回答No.4

yyssaa

失礼！
あと、２つの放物線が交わる条件（根の判別式≧0）を
加えて下さい。

回答No.3

yyssaa

両方の式のxに2を入れ、片方の式y≧2、
もう一方の式y≦2で、求まりませんか？
等号を入れているので、２つの放物線の
交点も囲まれた部分としてですが。

お礼

みなさまありがとうございます。

b≦a、
b≦-4a+2、
b≧(-1/2)a+1/2

というのが答えだそうです。

回答No.2

nag0720

＃１です。
１つ書き漏れが。

ax^2+b=bx^2+ax　の異なる２つの解をα,β(α＜β)とすれば、
α≦2≦β
の条件も必要です。

回答No.1

nag0720

２つの放物線 y=ax^2+b, y=bx^2+ax によって囲まれる部分ができるための条件は、
方程式　ax^2+b=bx^2+ax　が異なる２つの解を持つことです。

さらに、その囲まれた部分の中に点 (2,2) が存在するための条件は、
f(x)=ax^2+b, g(x)=bx^2+ax　とすれば、
f(2)≦2≦g(2)　または　g(2)≦2≦f(2)　のときです。

あとは、縦横をa-b軸としてグラフを描いて図示すればできあがり。

お礼

みなさまありがとうございます。

b≦a、
b≦-4a+2、
b≧(-1/2)a+1/2

というのが答えだそうです。