仮想仕事の原理の逆？（グリーンの定理）

質問

∫∫∫σijδεij dV　 　　　　　　　　　 (1)

＝∫∫∫σij×1/2(δUi,j+δUi,j) dV (2)

＝∫∫σij nj δUi dS－∫∫∫σij,j δUi dV (3)

＝∫∫ti δUi dS－∫∫∫σij,j δUi dV (4)

という式変形で

　(1)→(2)は、ひずみ-変位関係式　δεij＝1/2(δUi,j+δUi,j)
　(3)→(4)は、コーシーの式　　　　ti＝σij nj

と思いますが　(2)→(3)は、なぜでしょうか？
1/2はどこに？

よろしくお願いします。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

まず、(2)は、
∫∫∫σij・1/2(δUi,j+δUj,i)・dV
の間違いではないでしょうか？

そして、(2)をコツコツと展開してやると、
∫∫∫σij・1/2(δUi,j+δUj,i)・dV ＝∫∫∫σij・δUi,j・dV　(2)’
となって、1/2は消えてしまいます。

(2)’を部分積分すると、(3)が得られます。
特別サービスとして、この部分積分を、一部の項について具体的に実行してみると、次のようになり、(3)の形が得られることがわかります。

∫∫∫σxx・∂δUx/∂x・dV
＝ ∫∫σxx・δUx・dydz－ ∫∫∫∂σxx/∂x・δUx・dV
＝ ∫∫σxx・nx・δUx・dS－ ∫∫∫∂σxx/∂x・δUx・dV

∫∫∫σxy・∂δUx/∂y・dV
＝ ∫∫σxy・δUx・dxdz－ ∫∫∫∂σxy/∂y・δUx・dV
＝ ∫∫σxy・ny・δUx・dS－ ∫∫∫∂σxy/∂y/δUx・dV

お礼

ありがとうございます。
＞工学ひずみとテンソルひずみの区別
そうですね。区別どころか存在を知ってないですね。
とりあえず、消えない理由は分かりました。σxyとσyxの片方しか使ってないからですね。

なぜ、2種あるかとか、どの場合にどちらを使うべきかとか、そもそもそれぞれ何を指しているのか、知る必要がありますね。
とりあえず、会社の図書館で固体力学の本借りてきましたので、
勉強します。

補足

回答ありがとうございます。
基本がまったくないのに、ベクトルのまま考えるのが間違いですね。
(外積と間違えるので×使ったらだめなどの意識がまるでなし！)

∫∫∫(σxxδεxx + σyyδεyy + σzzδεzz + σxyδεxy + σyzδεyz + σzxδεzx)dＶ 　　 (1)
＝1/2∫∫∫{σxx(∂δUx/∂x + ∂δUx/∂x)　… + σxy(∂δUx/∂y + ∂δUy/∂x)　… }dＶ 　 (2)???
＝1/2∫∫∫{2σxx∂δUx/∂x + 2σyy∂δUy/∂y + 2σzz∂δUz/∂z + …　　　　　　　}dＶ
＝1/2∫∫∫[1/∂x{2σxx∂δUx+σxy∂δUy+σzx∂δUz}+1/∂y{2σyy∂δUy+σyz∂δUz+σxy∂δUx}
　　+　1/∂z{2σzz∂δUz+σzx∂δUx+σyz∂δUy}]dＶ　　　　　　　　]　　

となって、せん断応力部の1/2が消えません。???

＝∫∫∫{σxx∂δUx/∂x + σyy∂δUy/∂y + σzz∂δUz/∂z + σxy∂δUx/∂y + σyz∂δUy/∂z + σzx∂δUz/∂x}dＶ (2)'
(2)'→(3)は、ご解説の通り。

δεxx = ∂Ux/∂x , δεyy = ∂Uy/∂y , δεzz = ∂Uz/∂z
δεxy = ∂Uy/∂x + ∂Ux/∂y , δεyz = ∂Uz/∂y + ∂Uy/∂z , δεzx = ∂Ux/∂z + ∂Uz/∂x

と置けば成立かな？
これだと1/2が最初からないですね。
テンソル表示の意味が分かってないということでしょうか？(iとかjをxyzに置き換えられない)
質問の趣旨が変わってきましたか？