γ行列の反交換関係ついて教えてください。

質問

γ行列の４つの成分γνについては

γμγν＋γνγμ＝２ημν　　式１

（μ，ν＝０，１，２，３）

（η00＝１，η11＝－１，η22＝－１，η33＝－１）

という式があります。

また「群と物理」（丸善）Ｐ181の（6.72）には、
よく似ているのですが、

γiγj＋γjγi＝２δij　　　式２
という式が記載されています。

この式は、多分、

δ00＝δ11＝δ22＝δ33・・・・・・＝１

だと思うのですが、式１と式２の違いは何でしょうか？

反交換関係にも２種類あるのでしょうか？

回答No.2

KENZOU

＞そこで、求めたいのは
γμγν＋γνγμ＝２ημν　
η00＝１，η11＝－１，η22＝－１，η33＝－１, η44＝－１、、、ηnn＝－１
の関係になるようなγ０～γ２ｎです。どうすればよいでしょうか？

クリフォード代数のことを言っておられるのですね。この辺の詳しいことはよく知りませんが、簡単に言うとn次元空間の等長変換(長さを変えない変換)条件から導かれるの行列(γk)の代数のことで、その代数は{γi,γj}=γiγj+γjγi=2δij　(i,j=1,2,・・・,n)という反交換関係を満たすということではないでしょうか。
Dirac.Eqでのγ行列でγ4=iγ5(=iγ0γ1γ2γ3)を定義すればγμ（μ=0,1,2,3,4)は5次元時空でのクリフォード代数を満たしますね。それでは6次元時空でのγ行列は．．．？という調子で格闘されていけばそのあたりの姿が見えてくるのではないでしょうか。ご健闘を祈ります。

ちなみにRQM（γ体操）とC代数の参考テキストを下記しておきます。
http://physics2.phys.s.chiba-u.ac.jp/~kurasawa/
ココ↓の2004年コラムのリー群とリー代数
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/

お礼

お返事ありがとうございます。

答えがわかりました。非常に単純でした。

失礼しました。

η00＝１，η11＝－１，η22＝－１，η33＝－１, η44＝－１、、、ηnn＝－１
の関係になるようなγ０～γ２ｎは、

　　　　　１　　２　　　　　　ｎ
γ０＝σ２　σ３　・・・・σ３

　　　　　　１　　２　　　　　　ｎ
γ１＝―I*σ１　σ３　・・・・σ３

　　　　　１　　２　　３　　　　　ｎ
γ２＝I*σ０　σ２　σ２・・・・・σ３

　　　　　　１　　２　　３　　　　　ｎ
γ４＝―I*σ０　σ１　σ３・・・・・σ３

・ ・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　　　　１　　　　　　　ｎ－１　　ｎ
γ２ｎ－２＝I*σ０　・・・・・σ０　　　σ２　

　　　　　　　　１　　　　　　　ｎ－１　　ｎ
γ２ｎ－１＝―I*σ０　・・・・・σ０　　　σ１　

でした。

回答No.1

KENZOU

γiγj+γjγi=-2δij(i,j=1,2,3)
γμγν＋γνγμ=2gμν（μ,ν=0,1,2,3)
の違い、つまりγ0がくせものということでは。。。
(γ0)^2=E,(γi)^2=-Eですね。このあたりはテキストに書かれていると思いますよ。

補足

お返事ありがとうございます。

＞γ0がくせものということでは。。。
＞(γ0)^2=E,(γi)^2=-Eですね。このあたりはテキストに書かれていると思いますよ。

その通りでございます。これまで、Dirac方程式を扱う際、αやβ行列を使っていたので、上記のようなことは、全く気にしていませんでした（全て同じ符号なので）。ところが、γ行列は符号が異なるので、今戸惑っています。

、、、、、結局私が知りたいことは、
「群と物理」（丸善）Ｐ182の（6.83）に、γ行列はｎ個のパウリ行列の直積として下記の通り表せると記載されているのですが,この式を計算するとすべて
γiγj＋γjγi＝２δij　　が
δ00＝δ11＝δ22＝δ33・・・・・・＝１になります。
そこで、求めたいのは
γμγν＋γνγμ＝２ημν　
η00＝１，η11＝－１，η22＝－１，η33＝－１, η44＝－１、、、ηnn＝－１
の関係になるようなγ０～γ２ｎです。どうすればよいでしょうか？

　　　　　１　　２　　　　　　ｎ
γ１＝σ２　σ３　・・・・σ３

　　　　　　１　　２　　　　　　ｎ
γ２＝―σ１　σ３　・・・・σ３

　　　　　１　　２　　３　　　　　ｎ
γ３＝σ０　σ２　σ２・・・・・σ３

　　　　　　１　　２　　３　　　　　ｎ
γ４＝―σ０　σ１　σ３・・・・・σ３

・ ・・・・・・・・・・・・・・・

　　　　　　　　１　　　　　　　ｎ－１　　ｎ
γ２ｎ－１＝σ０　・・・・・σ０　　　σ２　

　　　　　　　１　　　　　　　ｎ－１　　ｎ
γ２ｎ＝―σ０　・・・・・σ０　　　σ１　

追伸
テキストは、腰を据えて見ておりませんが、土曜日に関係図書を気合を入れて見ます。