１６個の反交換関係を満たすγ行列について
- １６個の反交換関係を満たすγ行列について教えてください。
- ｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δijを満たし、かつγ0＝ββ、γ1＝α1α1、γ2＝α2α2、γ3＝α3α3、γ4＝α1α2、γ5＝α2α1、γ6＝α2α3、γ7＝α3α2、γ8＝α1α3、γ9＝α3α1、γ10＝α1β、γ11＝α2β、γ12＝α2β、γ13＝βα1、γ14＝βα2、γ15＝βα3の条件を満たす１６個のγ行列は存在するのでしょうか？
- この行列は少なくとも、２５６×２５６行列になるはずです。
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１６個の反交換関係を満たすγ行列について
こんにちは、下記につきまして教えてください。 ｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij の反交換関係を満たすγ行列はn個のパウリ行列の直積として次にように与えらるらしいのですが、 （「群と物理」 佐藤光先生著 P182より） γ1＝δ2（1）δ3（2）・・・・・δ3（n） γ2＝-δ1（1）δ3（2）・・・・・δ3（n） γ3＝δ0（1）δ2（2）δ3（3）・・・・δ3（n） γ4＝-δ0（1）δ1（2）δ3（2）・・・・δ3（n） ・ ・・・ γ2n-1＝δ0（1）・・・・δ0（n-1）δ2（n） γ2n＝-δ0（1）・・・・δ0（n-1）δ1（n） これは、取りあえず置いておきまして、 ｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij を満たし、かつ γ0＝ββ γ1＝α1α1 γ2＝α2α2 γ3＝α3α3 γ4＝α1α2 γ5＝α2α1 γ6＝α2α3 γ7＝α3α2 γ8＝α1α3 γ9＝α3α1 γ10＝α1β γ11＝α2β γ12＝α2β γ13＝βα1 γ14＝βα2 γ15＝βα3 の条件を満たす１６個のγ行列は存在するのでしょうか？ （この行列は少なくとも、２５６×２５６行列になるはずです。）
- bamatch
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書くのを忘れていましたが、下の回答の様に構成したΓは２５６×２５６行列ではなく、16行16列行列になります。物理学者はテンソル積のことをしばしば直積と呼びますが、数学ではテンソル積と直積は別のものです。 参考URLの本間泰史：「スピン幾何入門」等が参考になります
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- grothendieck
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大変重要なご質問です。まず γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3) を満たす4行4列の行列をとってきます。もちろんこれは通常のγ行列です。次にこれらのテンソル積によって次の16個の行列を定義します。 Γ0＝γ0×γ0 Γ1＝γ1×γ1 Γ2＝γ2×γ2 Γ3＝γ3×γ3 Γ4＝γ1×γ2 Γ5＝γ2×γ1 Γ6＝γ2×γ3 Γ7＝γ3×γ2 Γ8＝γ1×γ3 Γ9＝γ3×γ1 Γ10＝γ1×γ0 Γ11＝γ2×γ0 Γ12＝γ3×γ0 Γ13＝γ0×γ1 Γ14＝γ0×γ2 Γ15＝γ0×γ3 ここで×はテンソル積を表わします（通常は×のまわりに◯の記号で表わされるもの)。するとテンソル積の性質より ΓiΓj+ΓjΓi=2δij (i,j=0,1,…,15) が成立します。これらはClifford代数と呼ばれ、現代数学および物理学で大変重要なものになっています。 http://arxiv.org/abs/hep-th/0506011
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｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij を満たし、かつ γ0＝ββ γ1＝α1α1 γ2＝α2α2 γ3＝α3α3 γ4＝α1α2 γ5＝α2α1 γ6＝α2α3 γ7＝α3α2 γ8＝α1α3 γ9＝α3α1 γ10＝α1β γ11＝α2β γ12＝α2β γ13＝βα1 γ14＝βα2 γ15＝βα3 の条件を満たす１６個のγ行列は存在しませんし、存在しても、満たすことを確認する方法は無いかもしれません。すっきりしませんが、締め切らせて頂きます。再度、質問するかもしれません。
補足
お返事ありがとうございます。 ＞書くのを忘れていましたが、下の回答の様に構成したΓは２５６×２５６行列ではなく、 ＞16行16列行列になります。 γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の行列は、間違いなく２５６×２５６行列以上になります。下記の本には、 （「群と物理」 佐藤光先生著 P182より） クリフォード代数の次元は、 N r N ΣC N =2 (6.82) r=0 であり、従ってNが偶数、N=2nのとき、γ行列は2^n×2^n行列になり、、、 と記載されております。 従いまして、γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす組み合わせは、１６×１６行列では８組、４×４行列では４組しかないということになります。 また私は、上記を知らずに、γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の行列を、１６×１６行列だろうと予想して、mathematicaを使用して探したのですが、２年間計算して見つけられませんでした。間違いなく、２５６×２５６行列以上になります。 参考までに、γiγj+γjγi=2δij (i,j=0,1,2,3)を満たす１６組の２５６×２５６行列のmathematica プログラムを記載します。 但し、γ0＝ββ、γ1＝α1α1、γ2＝α2α2、γ3＝α3α3・・・・等の条件は満たしてないです。 demoteRank4to2[y_]:=Flatten[Map[Flatten,Transpose[y,{1,3,2,4}],{2}],1]; pauli8times[g1_,g2_,g3_,g4_,g5_,g6_,g7_,g8_]:=demoteRank4to2[Outer[Times,demoteRank4to2[Oute r[Times,demoteRank4to2[Outer[Times,g1,g2]],demoteRank4to2[Outer[Times,g3,g4]]]],demoteRank4t o2[Outer[Times,demoteRank4to2[Outer[Times,g5,g6]],demoteRank4to2[Outer[Times,g7,g8]]]]]]; g[1]={{0,1},{1,0}}; g[2]={{0,-I},{I,0}}; g[3]={{1,0},{0,-1}}; g[0]={{1,0},{0,1}}; e256=IdentityMatrix[256]; gu[0]=pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2]]; gu[1]=-I*pauli8times[g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[2]=-I*pauli8times[g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[3]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[4]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[5]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3],g[3]]; gu[6]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3],g[3]]; gu[7]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1],g[3]]; gu[8]=-I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[1]]; gu[9]=I*pauli8times[g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[10]=I*pauli8times[g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[11]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[12]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3],g[3]]; gu[13]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3],g[3]]; gu[14]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3],g[3]]; gu[15]=I*pauli8times[g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[0],g[2],g[3]]; For[x=0,x<16,x++, For[y=0,y<16,y++, If[x==y,Print[x,y,gu[x].gu[y]+gu[y].gu[x]==-2*e256]]; If[x=!=y,Print[x,y,gu[x].gu[y]+gu[y].gu[x]==0*e256]]; ]]; ｛γi, γj｝＝γiγj+γjγi=2δij を満たし、かつ γ0＝ββ、γ1＝α1α1、γ2＝α2α2、γ3＝α3α3等の条件を満たす１６個のγ行列は存在するのでしょうか？ 追伸 「光と電子のコンプトン散乱と同程度の計算について」では、基礎的な事項からご親切にご教示頂きましたにも関わらず、私の力不足により途中で挫折してしまい、申し訳ございませんでした。何卒、今後ともよろしくご指導頂きましたら幸いです。