線形代数学フロベニウスの定理について

質問

n次の正方行列Ａの固有値をλ1，…，λnとし，任意の多項式をf(x)＝a0＋a1x＋…＋amx^mとするとき，
行列f(Ａ)＝a0Ｅ＋a1Ａ＋…＋amＡ^mの固有値は，f(λ1)，…，f(λn)となることを証明するときに
Ａｘ＝λiｘ(ｘ≠0)とすると，A^kｘ＝λi^kｘ(k：自然数)なので，
f(Ａ)ｘ＝(a0Ｅ＋a1Ａ＋…＋amＡ^m)ｘ
＝(a0＋a1λi＋…＋amλi^m)ｘ＝f(λi)ｘ
ゆえに，λiがＡの固有値のとき，f(λi)がf(Ａ)の固有値となる．
ここから，証明がさらに続くわけですが，ここで証明終了としてはいけないのでしょうか？？

回答No.4

sokamone · ベストアンサー

質問に書かれている、証明の前半部分の論法は、抽象化すると、

「Ａx=λx（x≠0）が成り立っていて、
別の行列Ｂに対してもある値μが存在して、Ｂx=μxが
成り立つならば、μはＢの固有値である。」

ということです。(本当は単に「Ｂx=μx（ｘ≠0）が
成り立つならば、μはＢの固有値である。」ということだけなのですが。）
そして、λ1、…、λnがＡの固有値で、それぞれに対して、固有ベクトルｘiを考えたとき、
Ｂｘi=μixi をみたすμiが存在すれば、μ1、…、μnはＢの固有値であると言っているだけです。
これは決してＢの固有値はμ1、…、μnであるとは言っていないことに注意。
その理由を示す反例は、nubouさんも指摘していますが、
すぐに作ることができます。例えば、
Ａ=（１１０：０１１：００１） （：で区切ったところで改行して下さい）
Ｂ=（２００：０１０：００３）
という二つの３×３行列について、
Ａの固有値は、１のみで、たとえば固有ベクトルは、ｘ=(１００）がとれます。
これは、上の書き方だと、λ1=λ2=λ3=１で、対応する固有ベクトルとしてすべて
ｘ=（１００）がとれるということになります。
そして、このＸについて、
Ｂx＝２ｘ
が成り立つので、２は行列Ｂの固有値ということができます。
ですが、すぐにわかるようにＢの固有値は、ほかに１、３があります。

このようにRossanaさんが質問に書かれている証明の前半部分で
使われている論法だけでは不十分なのです。

ちょっと時間がないので、補足等要求がある場合はまた機会をみつけて
投稿したいと思います。

お礼

>Ａ=（１１０：０１１：００１） （：で区切ったところで改行して下さい
このアイデア素晴らしいですね(^^)書き難い行列をこのようにすれば一行で表現する事ができるのですね！！

具体例を出して説明して頂き，ありがとうございます．
だんだん分かってきました．
　つまり，こういう事ですね！
例えば，この例で行くと，Ａの固有値は１で
Ａx＝x　⇒　Ｂx＝２x
よりＢは固有値に２を持つ事は確実だけれども，Ｂの固有値の２の重複度は１か２か３か不明であると(この場合重複度は１となっている)．
って感じでいいでしょうか？

回答No.7

sokamone

> 具体例を出して説明して頂き，ありがとうございます．
> だんだん分かってきました．
> 　つまり，こういう事ですね！
> 例えば，この例で行くと，Ａの固有値は１で
> Ａx＝x　⇒　Ｂx＝２x
> よりＢは固有値に２を持つ事は確実だけれども，Ｂの固有値の２の重複度は１か２か３か不明であると(この場合重複度は１となっ
> ている)．
> って感じでいいでしょうか？

いままでの投稿とそれに対するRossanaさんの発言内容から、
もう十分に理解されていると思います。

フロベニウスの定理は、行列ＡからＢの対応が多項式関数で
与えられているというのがポイントですね。No.4に書いた論法は
その対応が多項式関数で与えられるということは何も使って
いないので固有値の重複度についての情報が何も得られなかったのです。

それにしてもnubouさんって、わざと漢字変換まちがえてるとしか
思えないのですが＾＾。漢字変換ソフトに恨みであるのかなｗ。

お礼

アドバイス有難うございます．
それか謎解きですかねぇf(@_@)
婚と掃除と製法…！？

回答No.6

nubou

＃２の補足に書いた結論でよいでしょうか？:

ｆが１：１であっても
λ１が｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０のｎ重婚ならば
ｆ（λ１）が｜ｆ（Ａ）－λ・Ｅ｜＝０のｎ重婚である
ことを示せないといけないのです

ｆが１：１でないときには
ｆ（λ１）がｎより大きい重婚度になる場合も有るというだけです

１のお礼では
λ１の｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０の重婚度と
ｆ（λ１）の｜ｆ（Ａ）－λ・Ｅ｜＝０の重婚度とが
等しいと見なして結論を出していたのでそれを示さないといけないということなのです

お礼

補足回答ありがとうございます．
ｆが１：１であっても
λ１が｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０のｎ重婚ならば
ｆ（λ１）が｜ｆ（Ａ）－λ・Ｅ｜＝０のｎ重婚である
ことを示せないといけないのです．
なるほど！その通りですね．
例えば，例としては１：１対応の時
４次の正方行列Ａの固有値をλ1＝λ2＝λ3≠λ4とすると，
１：１対応より
a≡f(λ1)＝f(λ2)＝f(λ3)≠f(λ4)≡b
となり，
f(A)の固有値はa，bですが，aの重複度は不明ですもんね！！ここで，例えばaの重複度が2とすると，
f(A)はa，a，b，c(≠a)となりますね！

回答No.5

nubou

この定理は

（１）任意の製法行列は（上）三角行列に掃除である

を使えばほとんど自明ですね

（１）は
（２）任意の製法行列はジョルダンの標準系行列に掃除である
（証明は難しいけど有名）
あるいは
（３）任意の製法行列はユニタリ行列によって（上）三角行列化される
（数学的帰納法で簡単に証明できる）
で明白

お礼

フロベニウスの定理の別の解法ですね．有難うございます．いちお，この解き方とnubouさんのおっしゃられる２通りの方法で証明してたんですけど，ふとした疑問が発生したのでここで質問しました．
　この問題は＃２の補足に書いた結論でよいでしょうか？？

回答No.3

kony0

Aの固有値に重解があって、f(A)の固有値に重解がないことの証明って、できてるんですっけ？
＃見当外れだったら、すみません。

お礼

ありがとうございました．

回答No.2

nubou

λ１が｜Ａ－λ・Ｅ｜＝０のλに関する２重婚だとして
ｆ（λ１）が｜ｆ（Ａ）－λ・Ｅ｜＝０のλに関する２重婚だとどうしていえるのでしょうか？

お礼

ありがとうございます．なんか分かった気がします．この落とし穴がなんであったか発見しました．補足に書きますので回答よろしくお願いします．

補足

ex．f(x)＝x^2の時，Ａの固有値がλ1＝２とλ2＝－２でそれぞれに対応する固有ベクトルをv，w（≠0)とする．
すると，Ａv＝2v，Ａw＝－2w，f(Ａ)＝Ａ^2で
f(Ａ)v＝Ａ・(Ａv)＝2^2v＝f(λ1)v
f(Ａ)w＝Ａ・(Ａw)＝(－2)^2w＝f(λ2)w
したがって，f(Ａ)が固有値としてf(λ1)及びf(λ2)を持つことは確実である！！
　しかーし！！！！！
f(λ1)＝f(λ2)＝4
である事に注意すべきである．
　f(Ａ)の固有値の重複度が２であればf(Ａ)の固有値は４のみであると言えるが，
　f(Ａ)の固有値の重複度が１ならばf(Ａ)は４と異なる固有値を持たなければならない！！

　したがって，この問題の大きなポイントは
xとf(x)が一対一対応ではない．
つまり，x1≠x2　ならば　f(x1)≠f(x2)
とは限らない所にある！！！これが僕の最終結論です．
こういう事でいいでしょうか？？

回答No.1

sokamone

それだけでは、証明終了としてはいけません。
f(A)の固有値がf(λ1)，…，f(λn)ですべてだ
ということを証明できていないからです。

お礼

さっそくの回答ありがとうございます．
では何故f(A)の固有値がf(λ1)，…，f(λn)ですべてだ
ということを証明できていないということになるのでしょうか？？その詳説をお願いします．
僕の考えでは
f(Ａ)ｘ＝f(λi)ｘ
をそれぞれλ1，…，λnのそれぞれについて適用するとf(Ａ)の固有値がf(λ1)，…，f(λn)であることが言え，
f(Ａ)はn次正方行列なので，固有値は全部で重複するものも含めてn個であるから，f(λ1)，…，f(λn)以外に考えられないと思うのですがよろしくお願いします！！