固有多項式を用いた2次の場合のハミルトン・ケーリーの証明

質問

成分でやれば証明をするだけならできますが、固有多項式を用いて示す設定になっています><
問:2次行列Aに対してAの固有多項式を
f[A](λ)=λ^2+αλ+β
とすると
A^2+αA+βI=0(I:2次単位行列、0:零行列)が成り立つことを示せ。

まったく何をすればよいのかわからないのですが、教えていただけませんか？
よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

どうして「固有多項式を用いて示す」設定だと思ったのですか？

問題文が質問にあるとおりであるならば
「固有多項式を用いて示す」必要はどこにもありません．
単に，ハミルトン・ケーリーの定理を説明するのに
固有多項式を使っているだけです．

ちなみに，一般のハミルトン・ケーリーの定理の証明は
教科書にでてませんか？
余因子行列を使う証明が有名だと思います．

お礼

ありがとうございました、解決しました。

補足

回答ありがとうございます。
すみません、習いたてでよくわかっていないので。。。
固有多項式に直接代入することによって示せばよいようです。
となると、Aを成分表示して、f[A](λ)のλにAを入れて、つまり、
f[A](A)=A^2+αA+βI
を、後は成分で計算すればよいということでしょうか？
結局、kabaokabaさんのおっしゃるように、ハミルトン・ケーリーを説明するために固有多項式を持ち出してきてだけで、やってるのは高校のときにやった単なる成分計算っていうことでしょうか？・・・

回答No.2

adinat

ハミルトン・ケーリーの定理とは、何次の行列であっても、その固有多項式f[A](λ)に行列Aを代入してやると零行列になる：
f[A](A)=O
という定理です。証明は教科書に載っているだろうし、あるいは以下のリンクを参照してください。一般的な証明を二次の場合に帰着させて丁寧に解説されています。勉強になると思います。ANo.1様がご指摘されている通り、余因子行列を用いた証明が有名です。
Aを成分表示して、固有多項式を求めると、簡単な行列式の計算から、
f[A](λ)=λ^2-tr(A)λ+det(A)
となることが分かります。したがって2次のケーリー・ハミルトンとは、
f[A](A)=A^2-tr(A)A+det(A)I=O
が成り立つということなのであり、これは高等学校で成分計算して既に証明を知っている分けです。もちろん具体的な成分計算をして、結果、Aの固有多項式にλ→Aを代入してやれば零行列になることが分かる、で回答として十分です。より手の込んだ回答を作りたければ、参考URLの回答を真似てみてください。

参考URL：

http://ysserve.int-univ.com/Lecture/linear/node36.html

お礼

ありがとうございました、解決しました。

補足

回答ありがとうございます。
固有多項式に直接代入することによって示せばよいようです。
結局、成分表示して計算すればよいよいうことでしょうか？？
それに、α、βはただ表現を簡略化するために使っているだけですよね？
質問ばかりでごめんなさい。　
リンクもありがとうございます。