固有方程式の問題

質問

Ａ，Ｂをｎ次正方行列とし、ＡとＢは共通の固有値を持たない

(1)　f(x)をＡの固有多項式とするとき、f(Ｂ)は正則関数であることを示せ。

(2)　ＡＸ＝ＸＢを満たす複素ｎ次正方行列はゼロ行列に限ることを示せ。

という問題です。(1)はなんとなくＡ，Ｂが共通の固有値が違うことからf(Ｂ)の行列式≠０から示すのかなとおもうのですが、(2)が解りません。

両辺の行列式をとればＸは正則でないことは示せるのですが０にしかならないというところまでうまく示せないのです。

そもそも　f(B)=（B-λ1*E)(B-λ2*E)…(B-λn*E)
ただし各λiはＡの固有値

で考えていいんですよね。でも

ｆ（B)＝det（B*E-A)　なのですか？

なんだかよくわからなくなってきました。

（２）の考え方と固有方程式に行列を代入したときどううなるかについてどなたかお暇な方お答えください。よろしくお願いします。

回答No.3

keyguy · ベストアンサー

重箱の隅をつつかれないために「独立」を

(2)2次の場合でBの固有値が1つでBの独立な固有ベクトルが1つの場合
Bの固有値をβとし固有ベクトルをbとする
A・X=X・Bより
(A-β・E)・X=X・(B-β・E)・・・(x)
(x)の両辺に右からbをかけると
(A-β・E)・(X・b)=0・・・(a)
βの拡張固有ベクトルをb'とすると
(B-β・E)・b'=b
(x)の両辺に右からb'を掛けると
(A-β・E)・(X・b')=X・(B-β・E)・b'=X・b・・・(b)
βはAの固有値で無いから(a)と(b)より
X・b=0かつX・b'=0⇒X・(b,b')=0
bとb'は互いに独立だからX=0

なお「ジョルダンの標準形」により
ｎ次行列にはｎ個の独立な「固有ベクトルあるいは拡張固有ベクトル」が存在することが保証されている

お礼

ありがとうございます。大変丁寧な説明をしていただき参考になりました。

回答No.2

keyguy

(2)2次の場合でBの固有値と固有ベクトルが共に1つの場合
(Bの固有ベクトルが2つあるときには簡単だから)
Bの固有値をβとし固有ベクトルをbとする
仮定よりA・X=X・B
両辺に右からbをかけると
A・(X・b)=β・(X・b)
すなわち
(A-β・E)・(X・b)=0・・・(a)
βの拡張固有ベクトルをb'とすると
(B-β・E)・b'=b
A・X=X・Bより(A-β・E)・X=X・(B-β・E)
両辺に右からb'を掛けると
(A-β・E)・(X・b')=X・b・・・(b)
βはAの固有値で無いから(a)と(b)より
X・b=0かつX・b'=0
すなわちX・(b,b')=0すなわちX=0

回答No.1

keyguy

(1)2次の場合(簡単に一般化可能)
s,tをAの固有値とすると(s=tも可)
f(x)=(x-s)・(x-t)
Bを代入すると
f(B)=(B-s・E)・(B-t・E)
よって
|f(B)|=|B-s・E|・|B-t・E|
|f(B)|=0だとsかtはBの固有値で無ければならない

(2)2次の場合でBの固有値と固有ベクトルが共に1つの場合
(Bの固有ベクトルが2つあるときには簡単だから)
Bの固有値をβとし固有ベクトルをbとする
仮定よりA・X=X・B
の右からbをかけると
A・(X・b)=β・(X・b)
すなわち
(A-β・E)・(X・b)=0・・・(a)
βの拡張固有ベクトルをb'とすると
(B-β・E)・b'=b
A・X=X・Bより(A-β・E)・X=X・(B-β・E)
両辺にb'を掛けると
(A-β・E)・X・b'=X・b
両辺に(A-β・E)を掛けると(a)より
(A-β・E)^2・X・b'=0・・・(b)
βはAの固有値で無いから(a)と(b)より
X・b=0かつX・b'=0
すなわち
X・(b,b')=0
よってX=0