線形代数の問題：MNとNMの固有多項式の関係について
- 線形代数の問題で、行列MとNの固有多項式の関係について説明します。
- 問題では、行列Mをm*n行列、行列Nをn*m行列として、MNの固有多項式fMN(λ）とNMの固有多項式fNM(λ)の間にfMN(λ)＝λ^(m-n)fNM(λ)という関係があることを証明するように求められています。
- 具体的な計算方法については、行列MとNを特定の形に変形させた後、行列M1とN1を導入し、fMN(λ)をdet(λE-MN)として表すことで関係が成り立つことを示すことができます。どうしてこの変形や導入が必要なのかについても説明します。
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線形代数
つぎの問題の答えの部分でわからないことがあります 問題は Mをm*nの行列、Nをn*mの行列とする。ただしm>nとする。 このときMNの固有多項式ｆMN(λ）とNMの固有多項式ｆNM(λ)との間に ｆMN(λ)＝λ^(m-n)fNM(λ) なる関係があることを証明せよという問題で その答えが M1＝[M:0],N1=[N ] 左このように m*mの行列にする 0 とおいてfM1N1(λ)=|λE-M1N1|=det(λE-MN)と書いてあったのですが どうしてこうなるのかわかりません。 紙に書いてやってみたのですがどうしてこれがイコールになるのかがわかりませんでした。簡単なことなのかもしれませんがどなたかお願いします。
- dakadaka22
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前回のいい問題に比べてつまらん問題だな、おい 前回の結果を適用すればそのままできるではないか ちゃんと図を書いたんか？ M1= [M 0] N1= [N] [0] であるから M1・N1=M・N の固有多項式と N1・M1= [N・M 0] [0 0] の固有多項式が同じだからそうなるだろう よく考えてみい ただ固有多項式の定義によっては一方に(-1)^(m-n)がかかるかもよ
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