線形代数の問題が解けない-行列式と逆行列の条件-
- 行列Aの行列式を求める問題と、行列Aが逆行列を持つための条件を求める問題です。
- 行列Aの固有多項式と固有値を求め、それぞれの固有値について固有ベクトルを求める問題です。
- 質問者は途中まで解いたが、答えが導けない状況で困っています。
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線形代数の質問です
問題が解けなくて困ってます(>_<) 1.行列A=|a+301 3a+303 6a+306| |201 202 203 | |101 102 103 | (1)Aの行列式を求めよ。 (2)Aが逆行列を持つための条件を求めよ。 2.行列A=|1 1 0| |2 -2 1| |4 -2 3| Aの固有多項式を求め、固有値をすべて求めよ。また、それぞれの固有値について固有ベクトルを一つずつ求めよ。 途中までは自力で解いたのですが、答えまで導けずにいます。 どれか一つだけでも構わないので、どうかよろしくお願いしますm(__)m
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>途中までは自力で解いたのですが やったところまでの解答を自力解答を補足に書いた上で、 行き詰まっている所を質問するようにして下さい。 1. (1) 行列式|A|= |a+301, 3a+303, 6a+306| | 201 , 202 , 203 | | 101 , 102 , 103 | = |a-1, 3a-1, 6a | |100, 100, 100 | |101, 102, 103 | = |a-1, 3a-1, 6a | |100, 100, 100 | | 1, 2, 3 | =100× |a-1, 3a-1, 6a | | 1, 1, 1 | | 1, 2, 3 | =100× |a-1, 3a-1, 6a | | 1, 1, 1 | | -1, 0, 1 | =100× | a, 3a, 6a+1| | 1, 1, 1 | |-1, 0, 1 | =100× | a, 3a, 6a+1| | 0, 1, 2 | |-1, 0, 1 | =100× | a, 3a, 6a+1| | 0, 1, 2 | |-1, 0, 1 | =100× | a, 3a, 7a+1| | 0, 1, 2 | |-1, 0, 0 | =-100× | a, 3a, 7a+1| | 0, 1, 2 | | 1, 0, 0 | =-100× |3a, 7a+1| | 1, 2 | =-100{6a-(7a+1)}=100(a+1) (2) Aが逆行列を持つための条件は |A|=100(a+1)≠0 a≠-1 [検証] a≠-1のとき、実際に逆行列を計算すると A^-1=[1/{100(a+1)}]× [ 100, 3(101a+1),-3(201a+101)] [-200,-(503a-97), (1003a+403 ] [ 100, 3(67a-33),-(401a+101) ] と求まります。 2. 行列A= [1, 1,0] [2,-2,1] [4,-2,3] の固有多項式= |1-t, 1 , 0 | | 2,-2-t, 1 | | 4, -2 ,3-t| =-(t-3)(t-1)(t+2)=0 ∴t=3,1,-2 ← 3個の固有値 固有ベクトルを求め方はどの教科書に載っているはずですから 復習してみて下さい。 固有ベクトルを求めると t=3の時 (1,2,8) t=1の時 (1,0,-2) t=-2の時 (1,-3,-2) となります。 分からない時は、補足に途中計算を書いてどこが分からないか質問して下さい。
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- 151A48
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訂正 ♯2です。 2. 固有方程式の中で,1+λとあるのは2+λの間違いでした。すみません。
お礼
わざわざ訂正までしていただいて、ありがとうございました! 大変助かりました!!
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
1. 行列式を a 3a 6a 201 202 203 101 102 103 と 301 303 306 201 202 203 101 102 103 の和にできます。1項目の行列式のaはくくり出せます。 あとはSarrusの公式で強引にだしてもよいでしょうし,うまく変形すれば少しは簡単になります。 100a+100 2. 固有方程式は (1-λ)(1+λ)(3-λ)=0 です。
お礼
ありがとうございます! いきなり2行と3行を計算して簡単にしようとしていました(>_<) 教えていただいたら納得しました。 とても助かりました!!
- alwen25
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3次以上の行列式は余因子展開で計算する。 線形代数の本には必ず書いてあるはずです。
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お礼
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