数学の２次不等式の問題で質問があります

質問

問題はx^2-(a^2-2a+1)x+a^2-2a<0を満たす整数xが存在しないようなaの値の範囲を求めよという問題なんですが
まず因数分解して(x-1){x-(a^2-2a)}<0…(1)とするところまではわかったんですけどその後(1)を満たす整数xが存在しないための条件が0<=a^2-2a<=2という風になる理由がわかりません
どうか教えてください

回答No.5

ma-cyan369

質問返しします。

因数分解後、
ⅰ)１≦ａ^2－２ａ≦２
ⅱ)０≦ａ^2－２ａ≦１
上記の２パターンで場合わけが必要なことをしっていますか？

この手の問題は、何かと言うと、２次方程式、不等式もしくは２次関数で言う「解の範囲」というカテゴリに属する問題で(厳密には違いますが、受験問題では結構難度が高い方の部類に入ります)グラフを書いて問題をとく手法がよく用いられますし、分かりやすいです。

「解の範囲」という言葉をしってますか？

回答No.4

mister_moonlight

ごちゃごちゃ書き込んでも、ポイントがずれてる回答者が多い。。。ｗ

（x-α）*（x-β）＜0　（β＜α）とすると、β＜x＜α　であるから、これで整数xが存在しないのは、βとαの間の距離が、｜α－β｜≦1　であると良い。
但し、（x-α）*（x-β）＜0　で等号が含まれていないから、｜α－β｜≦1　となって等号が含まれる事に注意。

これをこの問題に適用すると。

｜（a^2-2a）-1｜≦1であるから、-1≦a^2-2a-1≦1　→　0≦a^2-2a≦2　となるだけ。

回答No.3

naniwacchi

不等式で困った時は、数直線上で考えるようにしてみてください。

いまの不等式は、a^2-2aが 1よりも大きいか小さいかによって
a^2-2a＜x＜1 または 1＜x＜a^2-2a のどちらかとなります。

つまり、x=1ともう一つの点で挟まれた区間（点は含まない）が不等式の解となります。
その区間が整数を含まないようにしようとすると、x=1の両隣を含まなければよいことになります。

数直線上で、x=1のまわりでいろいろな値をとって、区間を考えてみてください。

回答No.2

pasocom

＞(x-1){x-(a^2-2a)}<0…(1)とするところまではわかった。
だったらあと一歩ですよ。
この式が意味するのは、
1)(x-1)が負になり、かつ{x-(a^2-2a)}は正。
または
2)(x-1)が正で、かつ{x-(a^2-2a)}が負。ということです。
（両方とも「正」か「負」だったら掛けたものは「正」になってしまう）。

1)において、(x-1)が負になるのは、x<=0。（xは整数だから）。また一方、{x-(a^2-2a)}が正になるのは、x＞(a^2-2a)。この解が存在しないためには、(a^2-2a)＞=0、ですね。
2)では、(x-1)が正になるのは、x＞=2。かつ、{x-(a^2-2a)}が負になるのは、x＜(a^2-2a)。だから、上と逆になって(a^2-2a)＜=2　の場合には整数ｘが存在しません。

以上から、(1)式を満たす整数xが「存在しないための条件」は、
0<=（a^2-2a）<=2　
となります。

回答No.1

info22

不等式の解は
x=1とx=(a^2-2a)の間の範囲（境界値は含まず）ですから
この範囲でx=1に最も近い整数はx=0とx=2ですから、
不等式がx=0とx=2を含まない範囲は
0≦a^2-2a<x<1 または 1<x<a^2-2a≦2
となります。
このことから
a^2-2a　の範囲が
＞(1)を満たす整数xが存在しないための条件が0<=a^2-2a<=2という風になる
と出てきませんか？