解けなくって困っています

質問

y=Ax^2+Bx+Cという式があります
ここで、BはB=dz+e、C はC=fz+gとなっています。
A、d、e、ｆ、ｇは定数、x、zは変数です
このとき y=0(もしくは0に限りなく近い値)になるようなｘ、zを求めるにはどのようにしたらよいのでしょうか？
多分プログラムとか組まなくてはいけないと思いますが、考え方からよくわかりません。
大変困っております。よろしくご教授お願いします

もし、質問の内容に足りない部分がありましたらいってください。

回答No.8

eatern27 · ベストアンサー

#5です。
場合分けしてみます。
(I)A＝0の時
(1)B=dz+e=0の時
(a)f=g=h=0の時・・・任意のz,xで題意を満たす。
(b)f=g=0, h≠0の時・・・全てのz,xで題意を満たさない。
(c)f=0,g≠0の時・・・z=-h/g,xは任意
(d)f≠0,g^2-4fh≧0の時・・・z={-g±√(g^2-4fh)}/2f,xは任意
(e)f≠0,g^2-4fh＜0の時・・・全てのx,zで題意を満たさない

(2)dz+e≠0の時・・・x=-(fz^2+gz+h)/(dz+e) （＝-C/B)

(II)A≠0の時・・・x={-B±√(B^2-4AC)}/2A
ただし、B^2-4AC=(d^2-4Af)z^2+(2de-4Ag)z+(e^2-4Ah)≧0
これと同値なのは
D≦0,d^2-4Af>0の時 任意のz
D<0,d^2-4Af<0の時 全てのzで成り立たない
D>0,d^2-4Af>0の時 ｚ≦α、β≦z
D≧0,d^2-4Af<0の時 α≦z≦β
d^2-4Af=0,2de-4Ag>0の時 z≧γ
d^2-4Af=0,2de-4Ag<0の時 z≦γ
d^2-4Af=0,2de-4Ag=0の時 e^2-4Ah≧0
但し、zの2次方程式(d^2-4Af)z^2+(2de-4Ag)z+(e^2-4Ah)の判別式がD,解がz=α,β (α≦β)、
zの1次方程式(2de-4Ag)z+(e^2-4Ah)＝0の解がz=γとする。

多分、これですべてだと思います。

お礼

みなさん　ありがとうございます
大変参考になりました
また　じっくり考えてみたいとおもいます

回答No.7

hinebot

＃４です。
＃３の方の回答の
>ｘ＝｛－Ｂ±√（Ｂ＾２－４ＡＣ）｝／２Ａ
>ですからＢはｚの１次式、√の中はｚの２次式
>収束も何もなく、一発で求まると思います。
の通りで、最も０に近い値ではなく、ｙ＝０となるｘの値は決めることができます。
がｘ、ｚが実数という条件をなら判別式が正または０である必要があります。判別式は上記解の公式の√の中つまり、
Ｄ＝Ｂ＾２－４ＡＣ　のことです。
Ｄ＝Ｂ＾２－４ＡＣ≧０　である必要があるということです。
Ｄはｚの２次式ですから　Ｄ≧０は、ｚの２次不等式になり、これを解けばｚの範囲が決まります。
変数がｘ、ｚの２つある以上、（任意のｚに対してＤ＜０にならない限り）ｙ＝０となるｘ、ｚの組は無数に存在し、一意に決めることはできません。

回答No.6

eatern27

#5です。
3行目訂正です。
A=0の時→A≠0の時

回答No.5

eatern27

＞解の方式でxを求めるのでよいのでしょうか？
"解の公式"ですよね？
いいと思います。ただし、A=0の時、という条件がつきます。

条件を満たすようなx,zを1つでも見つければいいのでしょうか？
１つだけでも見つければ、いいという前提で解きます。

f=0かf≠0かで場合分けしたりして、
zの方程式 C=fz^2+gz+e=0を解きます。
z=αの時にfz^2+gz+e=0を満たしたとすれば、
(x,z)=(0,α)で題意を満たします。

C=fz^2+gz+e=0が実数解を持たない場合
C≠0・・・(1) というのを頭に入れておきます。
まず、Aは0か0でないかで場合分けします。
A≠0の場合
B^2-4AC=0はzの方程式となり、最高でも2次の方程式です。
この方程式を解いて、z=βが解となれば、
(x,z)=(-(dβ+e)/2A,β)
で条件を満たします。
zの方程式B^2-4AC=0が実数解を持たない場合はAx^2+Bx+C=0は実数解を持ちませんので、題意を満たしません。

次にA=0の場合は
dz+e≠0となるようにzをとり、z=γとします。
(もしd=e=0でdz+e≠0となるようにzをとれない場合は(1)よりAx^2+Bx+C=0となりません)
(x,z)=-(fγ^2+gγ+h)/(dγ+e),γ)

こんな感じでいかがでしょうか？

もし、条件を満たすようなx,zを求めるのは１つでなく、z,xの関係式が必要なら補足をください。
(z,xの関係式も書こうと思いましたが、場合分けが面倒すぎて、途中で挫折しました。)

回答No.4

hinebot

>もしこの２次関数がx軸と交わらない場合はどのように考えたらよいでしょうか？

２次関数　y=Ax^2+Bx+C　のグラフで、０に一番近い値つまり、ｘ軸に最も近い値になるのは、頂点です。
頂点のｙ座標が最も０に近い値になります。
頂点の座標は平方完成すれば出てきます。

Ax^2+Bx+C = A(x+B/2A)^2 -B^2/4A+C
なので頂点の座標は(-B/2A,-B^2/4A+C)となります。
つまり、０に最も近い値は　-B^2/4A +C です。

これにB=dz+e ,C=fz＾2+gz+h を代入すればやはりｚの２次式になります。

回答No.3

noname#24477

解の「公式」です。

Ｃがｚの２次式だろうと
ｘがｚの関数であることには変わりありません。

ｘ＝｛－Ｂ±√（Ｂ＾２－４ＡＣ）｝／２Ａ

ですからＢはｚの１次式、√の中はｚの２次式
収束も何もなく、一発で求まると思います。

補足

なんども質問に付き合ってくれてありがとうございます
迷惑ついでですが、もしこの２次関数がx軸と交わらない場合はどのように考えたらよいでしょうか？
つまり、０に一番近い値を求めようとするときはどのように考えればよろしいのでしょうか？
すみませんがもう少しお付き合いください

あと、解の公式でしたね、書き間違いでした　お詫びいたします

回答No.2

noname#24477

ｙ＝０と置いて解の公式を使えば
ｘはＡ，Ｂ，Ｃで表すことができます。

ということは
ｘはｚの関数になります。
（ｚは任意として）ｚを決めればｘが決まりますね。
実数条件などは、また別に考えればいいことです。

どういう形で求めたいのですか？

補足

No1の補足にも書きましたが、条件が少々(大分ですね)間違ってました。すみません
C=fz＾2+gz+h　でした　

この条件で、zを任意に決めまして、y=0となるような、xを求めようとしたんですが(プログラムで)、解の方式でxを求めるのでよいのでしょうか？なかなか収束しません、また値が出ても変な値です。よってこの考えではだめなのでは？と思っている最中です。また、条件がたりないのでしょうか？ また、パラメータ(A やBやC)がおかしいからなのでしょうか？

このような　２次式の解を考えるのによい材料となるHPなどはありませんでしょうか？

回答No.1

arukamun

B=dz+e、C=fz+gを代入すると

y=Ax^2+(dz+e)x+(fz+g)

=Ax^2+dxz+ex+fz+g
=Ax^2+ex+g+z(dx+f)

z(dx+f)=Ax^2+ex+g-y
z=(Ax^2+ex+g-y)/(dx+f)

yを0にいれてみると

z=(Ax^2+ex+g)/(dx+f)

これでxとzの関係がわかると思いますが。

補足

すみません　問題間違えていました
せっかく解いてくれたのにすみません
C=fz＾2+gz+h　でした　
なにかいい案ありませんでしょうか？