数学の問題の解き方を教えてください。

質問

次の分数をa＜bである自然数a.bを用いて、1/a＋1/bの形を表せ。ただし、a.bが2組以上ある場合は1,3番目に小さい組を用いて表わせ。
(1)2/51　(2)3/70 　(3)2/39　(4)3/44
です。
解ける方、お力を貸して下さい。お願いします。

回答No.5

rnakamra · ベストアンサー

ヒント代わりに(1)だけを。

1/a+1/b=(a+b)/ab=2/51
2ab=51(a+b)

ここで両辺に左辺の係数"2"を掛けて整理します。
4ab=102(a+b)
4ab-102a-102b=0
(2a-51)(2b-51)-51^2=0
(2a-51)(2b-51)=51^2=3^2*17^2

掛け合わせて3^2*17^2になる二つの整数の組み合わせは次の通り。
(1,3^2*17^2),(3,3*17^2),(3^2,17^2),(17,3^2*17),(3*17,3*17),(3^2*17,17),(17^2,3^2),(3*17^2,3),(3^2*17^2,1)
これとこの符号を両方ともマイナスにしたものもあります。(ただし、これは答えにはなりません。後述)

a<bですから、2a-51<2b-51ですので、この条件を満たすように組み合わせを選びます。
また、a,bは自然数ですので2a-51≧-49,2b-51≧-49ですが、上記の組み合わせのうち符号がマイナスのものは一方の絶対値は51以上になるため条件を満たしません。
後は、1,3番目に小さい組(いっている意味が不明)を選べばよい。

お礼

ご回答ありがとうございます。
大変わかりやすく解説してくださり、ありがとうございます！理解することができました！

回答No.6

staratras

これは古代エジプトの分数の考え方ですね。古代エジプトの数学では「３分の２」のみを例外として、分数は「すべて分子が１だけのもの」(単位分数）しか認めなかったそうです。(分子が１以外の）一般の分数はどう表すかといえば、この問題のように複数の単位分数の和で表現した（単位分数分解）ということです。

さて、この問題の解き方ですが、余りエレガントな方法ではありませんが
（1）を例にとれば（2/51）=(1/25.5）だから
a=26（2/51）=(1/26）+（1/ｂ）と置いてみます。（a≦25にはできません）
これを解くと、b=1326　めでたくbが整数になりました。

aは別に最小のもの(この場合26)に限られるわけではありません
a=27 （2/51）=(1/27）+（1/b）と置いてみます。
これを解くと、b=459です。これもbが整数で題意を満たします。

これに味をしめてa=28、29でやってみるとbは整数にならず、
この単位分数分解はできません。
a=30　では　b=170で分解できます。a=31、32、33ではまただめです。
a=34　では　b=102で分解できます。

まとめると a=26,b=1326 a=27,b=459 a=30,b=170 a=34,b=102 aの値が最小から４番目までの解です。
(#3の方の計算によりますとこれ以外の解はないようですが…）

＞ただし、a.bが2組以上ある場合は1,3番目に小さい組を用いて表わせ　という意味が少し不明確ですが、
「aが1,3番目に小さい組」と解釈すれば（a=26,b=1326）と（a=30,b=170） でしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます！
なるほど！こういう解き方もあるのですね。
大変参考になりました。

回答No.4

makiossk

エジプト分数といいます。
１／ａ
のように分子が１であるものを単位分数といいます。
さまざまなＷｅｂがあります。
検索してみましょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
エジプト分数というのですね！参考になりました！

回答No.3

noname#252183

面白そうなので、試しにVBで、1/ｍ+1/ｎ（0＜ｍ≦ｎ≦10000 ）を計算して見ました。
--------------------------
Dim x As Double

Private Sub Command1_Click()
Debug.Print Time
For m = 1 To 10000
For n = m To 10000
x = 1 / n + 1 / m
If x = 2 / 51 Then Debug.Print "2/51=", m, n
If x = 3 / 70 Then Debug.Print "3/70=", m, n
If x = 2 / 39 Then Debug.Print "2/39=", m, n
If x = 3 / 44 Then Debug.Print "3/44=", m, n
Next
Next
Debug.Print Time
MsgBox ("終了")
Stop
End Sub

----------------------------
【回答】

3/44= 15 660
3/44= 16 176
3/44= 20 55
2/39= 21 273
3/44= 22 44
2/39= 24 104
3/70= 24 840
3/70= 25 350
2/39= 26 78
2/51= 26 1326
2/51= 27 459
3/70= 28 140
3/70= 30 105
2/51= 30 170
2/51= 34 102
3/70= 35 70
2/39= 39 39 ×
3/70= 40 56
2/51= 51 51 ×

-----------------------------
>例えば (1) は 2/51 = 1/26 + 1/1351 (多分) などと書けますね
書き写しミス？　1/1326でした。→#2

Pentium4で所要38秒。
それにしても、なんつ～問題だ？
こんなのを手計算で見つけろと言うんかいな。できる訳ない！！

お礼

ご回答ありがとうございました！
すごいです！こういう解き方もあるのですね・・・。勉強させていただきました！

回答No.2

Tacosan

例えば (1) は 2/51 = 1/26 + 1/1351 (多分) などと書けますね＞#1.
「1,3番目に小さい組」の意味がわかりませんが.

お礼

ご回答、ありがとうございました！
「1,3番目に小さい組」というのは、aが1番目と3番目に小さい数の組み合わせ、ということです。わかりにくいですね。申し訳ありません。

回答No.1

sono0315

ルールは
2/51＝1/a＋1/b
とするようなa,bを見つけるということでしょうか？

(1)1/51+1/51しか思いつきません。しかしa<bでないのでダメ

(2)1/35+1/70たぶんこれしかない

(3)1/39+1/39しか思いつかない。これもa<bでないのでダメ

(4)1/22+1/44たぶんこれしかない

「自然数」という制約は実は「整数」ではないですか？
自然数の場合どう頑張っても(1)と(3)は解けません

お礼

ご回答、ありがとうございました！