法則性の問題

質問

中学3年です　夏休みの問題にわからない物がありました

nは整数である　n^2から(n+1)^2までの整数は (n+1)^2から(n+2)^2までの整数　(n+2)^2から(n+3)^2までの整数・・・と間の整数の数を並べていくと　直前の間の数+2=今の間の数 になるようです
n^3の場合は　直前に増加した数+6=今の間の数　になるようです
これらの証明と　n^∞のときの間の数の法則性はどのようなものになるか？

ときどき絶対　中3では解けない問題をだしてくる先生なのですが　2学期の始業式でこの問題の答えを提出してびっくりさせたいので　おねがいします

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

とりあえず、
｛(x+2)のk乗 - (x+1)のk乗｝-｛(x+1)のk乗 - xのk乗｝
を、k = 2, 3, 4, … の場合について、
順にコツコツ計算してごらん。
知識も技術も要らない。
地道に括弧を展開するだけだ。
ある程度大きい k まで、実際にやってみれば、
何かに気がつくと思う。
あとは、カンが有るか無いかやね。
気づいた内容を、形式的に正しく証明するのは、
中学生には難しいかもしれない。

回答No.3

naniwacchi

2乗や3乗の式を展開してもいいですが、もうちょっと直感的に。

n^2の場合、n個×n個に並べられた球を考えます。
縦横それぞれ1列ずつ増やすと、n+個1×n+1個になります。
増やした（増やされた）球の数が図的に見えてきます。
次にさらに1列増やしたときの増え方をみれば…です。

n^3の場合は、縦×横×高さと並べます。

図を描いて、じっくり見て下さい。

回答No.1

koko_u_u

自力でびっくりさせなければ虚しいだけです。