- ベストアンサー
証明問題
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
合成数というのは、1でも素数でもない自然数ということですね。 つまり、2以上自分自身未満の整数で割り切れれば、合成数です。 これはよくある問題のようです。 (n+1)! は、2×3×…×n×(n+1)なので、 (n+1)!+2 は、2で割り切れる。 (n+1)!+3 は、3で割り切れる。 ・・・・・・・・・・ (n+1)!+n は、nで割り切れる。 (n+1)!+(n+1) は、(n+1)で割り切れる。 ということで、n個の連続した合成数を作ってみせることができます。 答えを知ってて解答してるみたいなのが、ちょっと気に入らないのですが、例えば、 X+2 が 2で割り切れ、 X+3 が 3で割り切れ、 ・・・・・・・・・ X+(n+1) が (n+1)で割り切れる。 となるような、整数 X は、明らかに、 X = 2×3×…(n+1) = (n+1)! ということで求めることもできます。 これもまあ、答え知ってて書いてるようなかんじはしますなぁ。
その他の回答 (1)
- waseda2003
- ベストアンサー率50% (110/216)
(n+1)！が 2からn+1までのすべての整数で割り切れる ことに注目しましょう。
関連するQ&A
- オイラーのφ関数を使った問題の証明です。
Show that if n > 1, then the sum of the positive integers less than n and prime to it is n・φ(n)/2. [Hint: If m satisfies the conditions, so does n-m.] もし、n > 1ならば、nと互いに素であるnより小さい正の整数の和はnとφ(n)の積を2で割ったものになるということを示せ。 ヒント：mがその条件を満たすなら、n-mではどうか。 φはオイラーのφ関数のφです。 英文は実際の問題です。 訳は自分で解釈した文です。 この証明を教えてください。 ヒントの訳が少し自信がなく、証明方法がわかりません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の証明問題（数学的帰納法）
数学の証明問題の質問です。 以下の２つを数学的帰納法を使い証明するのですが 成り立つ時と成り立たないときがあり どういう風に書けばいいのかわかりません。 わかる方、回答、解説をお願いします。 Use Mathematical Induction to prove 3＾n < n! for integers n >= 7. n^3 > n^2 + 3 for all n >= 2. ※アメリカで授業をとっているため問題文が英語です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 行列の証明問題
1. Suppose A is positive definite and symmetric. Prove that all the eigenvalues of A are positive. What can you say of these eigenvalues if A is a positive semidefinite matrix? 2. Prove that the sum of two symmetric positive definite matrices A, B ∈ Rd×d is positive definite. 3. Prove that if A is symmetric positive definite, then det A > 0 and thus A is invertible. On the contrary, show that if det A > 0, then A is not necessarily positive definite (you just need to provide a counterexample). 4. Prove that if A is positive semidefinite and λ > 0, then (A + λI) is positive definite. 5. Prove that if X ∈ Rd×n then XXT and XT X are both positive semidefinite. 6. Prove that if X ∈ Rd×n has rank d, then XXT is positive definite (invertible). 7. Let X ∈ Rd×n be a matrix, and Y ∈ Rn. Prove that minα∈Rd∥XTα－Y∥2 +λ∥α∥2 is attained for α = (XXT + λI)－1XY .
- 締切済み
- 数学・算数
- 連分数に関する数学の問題について教えてください。
以下の問題です。 Find the continued fraction expansions of √(n^2 + 1) and √(n^2 + n), where n is a positive integer. √(n^2 + 1) と√(n^2 + n)の連分数展開を見つけろ。ここで、ｎは正の整数である。 この問題を教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３連続の整数が、２と３の倍数になることの証明
高校数学の数列の問題です。 数列｛an}の初項a1 から、第ｎ項での和を、Sｎと表す。 この数列が、（ｎ＋２）aｎ＝３Sｎ（ｎ＝１，２，３，・・・） をみたす。数列｛an}の初項a1が整数であるとき、Snは整数であることを示せ。 (n+2)a[n]-(n+1)a[n-1]＝3（ S[ｎ]－ S[ n-1]） これから、一般項を求めて、 a{n｝＝（ｎ＋1）／（ｎ-1） a {ｎ-1｝ aｎ＝｛（ｎ＋1）／（ n -1）｝×｛ｎ／ｎ－2｝×｛ n -1｝×｛ n -1／ n -3｝× ｛ n -2／ n-4｝×… ｛5／3｝×｛4／2｝×｛3／1｝a1 約分して、 これから一般項求める aｎ＝｛ｎ（ｎ＋1）／2｝× a{ 1} （ここからは、ある人からの回答です） a[ｎ]＝｛ｎ（ｎ＋1）／2｝× a[1] を求めた時点で、 n(n+1)/2 は１からｎまでの和ですから a[1]が整数なので、 a[n]は整数であることが分かります。 a[1]からa[n]までの和である S[n]も当然整数となります。 もし計算で出すのでしたら n(n+1)(n+2)/6×a[1] となります。 これが整数であることは n(n+1)(n+2) は連続する３つの整数なので、 ２の倍数と３の倍数を含むことから６の倍数となります。 つまり分母の６が約分されるので整数となります。 とあるのですが、 この「 n(n+1)(n+2) は連続する３つの整数なので、 ２の倍数と３の倍数を含むことから６の倍数となります。」 この部分は、証明なしで使っていいのでしょうか？ いわれると何となくわかるのですが・・・ また、これを示すには、どうすれば示せますか？ お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ６の倍数になることの証明
ｎが自然数の時、ｎ（ｎ＋１）（ｎー１）が６の倍数になることを証明せよ。 連続した３つの整数の積が６の倍数になることの証明なのでｎ＝２aと ｎ＝２a＋１にわけて証明するのかと思うのですが、わかりません。どのように証明したらよいかどなたか教えて頂けませんか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 整数問題
連続する3つの整数の積は6の倍数であることを示せ。 という問題なんですが、 任意の整数を ｎ とおいて n(n+1)(n+2)と とりあえず置きました。 これを展開したりしてみましたが6の倍数であることを示せそうな式になりませんでした。 こんなときは (1) 1×2×3=6 (2) 2×3×4=24 (3) 3×4×5=60 (4) 4×5×6=120 (5) 5×6×7=210 ゆえにどれも6の倍数であるから 連続する３つの整数の積は6の倍数である。 と答えた場合 試験官はいくらか点数をくれるでしょうか？ それとも 式で表さなければいけないのか。 証明の仕方も教えていただけたら助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 整数問題
問題文は省きます。 nは自然数です。 証明の過程で、n=3k＋1のとき、 「n＋2=(3k＋1)＋2=3(k＋1)が合成数である」ことを示したいのですが、上のn=3k＋1の式で、k=0としてもn=1となるので、nは自然数であることを満たしてますよね。 しかし、命題「n＋2=(3k＋1)＋2=3(k＋1)が合成数である」については、k=0とするとn＋2=3となってしまい、合成数にはなりません。 参考書では、kは整数とし、「n＋2=(3k＋1)＋2=3(k＋1)は合成数である」と断定しているのですが、答案を書く際これで本当にいいのでしょうか。 回答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 整数の問題（高１）の質問
今高１です。宿題が明日提出で頑張ってやっているのですが、次の２問がどうしてもわかりません。ご教授ください。 問．次の事を証明せよ。 (1)連続した４つの整数の積は24の倍数である。 (2)nは整数とする。このとき、n^3+5nは６の倍数である。 (1)は、(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)で考えると、計算は楽だったのですが、そこから証明できません。 (2)は……分かりませんでした。なんとなく、n^3+5n=(n-1)n(n+1)-n^2+6nが使えるかなぁ？とか思いましたが、できそうにありません。。（？）
- ベストアンサー
- 数学・算数
