微分についてお尋ねします

質問

数学が苦手なのになぜか科目登録してしまった者です。
練習問題を解いていたのですが、微分がどうしても理解できません。高校時代にも習いませんでしたし、文系ですし本当に初歩的なものも分かりませんorz
例えば次のような問題の解はどうなるのでしょうか？
（１）　ｙ＝（ｘ3(乗)－２ｘ2(乗)＋５）4(乗)

また、微積分の公式、簡単な解き方を説明されているサイトなどはないでしょうか？

回答No.5

noname#91219 · ベストアンサー

すみません、＃１です。とんでもないミスをしていましたorz
＃１の回答で答えになっているy＝4x^3(3x^2-4x)の最初のxが違いました。（１）式は仮定を説明しただけなので、最後の部分で（１）式を持ち出したのは不適切でした。
正しくは、y＝(x^3-2x^2+5)^4の微分の手順は

１．（　）内をxと考えて累乗を前に卸して、自身は１つ下げる。
y'＝4(x^3-2x^2+5)^3
２．その後ろに（　）内の微分を置く。
y'＝4(x^3-2x^2+5)^3 (3x^2 - 4x)
でした。失礼しました。

回答No.6

BASKETMM

問題を解くことは後回しにしましょう。
微分の意味を考えましょう。
公式は理解しましょう。丸暗記はしないことです。
高校で習わなかったら、高校の教科書を買ってきて読めばよいでしょう。なかなか上手に編集されていますよ。
今は教科書を誰でも買えます。教科書会社に電話してご覧なさい。

回答No.4

x_jouet_x

あまり良い公式集ではないかも知れませんが、
http://www.ntu.ac.jp/old/dept/mds/lab/lab-komuro/jyugyo/biseki/kihonnkousiki.htm
辺りはどうでしょう？

まず微分の基本中の基本、(x^p)' = p × x^(p-1)は確実に覚えましょう。
(x^p とは、xのp乗という意味です。)

次に質問に挙げられている式
y = (x^3 - 2x^2 + 5)^4
を考えてみます。

この式みたいに、(◯x^n + △x^m + ...)^pのように( )をさらにp乗するような式の微分は、参考サイトの「２．基本公式」の(4)にある合成関数の微分を当てはめると解けます。

まず、z = x^3 - 2x^2 + 5とおくと、y = z^4になります。
実際に求めたいのはxで微分したもの(dy/dx)なので、合成関数の微分 dy/dx = dy/dz × dz/dxを当てはめます。
(dy/dzはyの式をzについて微分したもの、dz/dxはzの式をxについて微分したものを表します。)

計算してみると、
dy/dx = 4z^3 × (3x^2 - 4x)
ですが、z = x^3 - 2x^2 + 5ですので、
dy/dx = 4(x^3 - 2x^2 + 5)^3 × (3x^2 - 4x)
となっていきます。

その他、積の微分 {f(x)g(x)}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)や
{f(x)/g(x)}' = {f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}/{g(x)}^2など、与えられた式に応じてどの公式を当てはまればいいか考えて微分していきます。

回答No.3

egarashi

サイトなどは知りません。すみません。
そのかわりに概念というか考え方を述べます。

微分ってそもそも何をやってるかわかりますか？
多分、公式などを暗記して、計算ができるようになったとしても、実際何の操作を行っているのかわからないままだと思います。

まあ、ざっくり言うと割り算です。それも、割られる数・割る数ともにめっちゃ小さい数なんです。
もう少し正確に言うと、微分するとは、
(変化量)÷(変化量)
ってことなのです。しかもこの変化量はめっちゃ小さい。

…ピンときませんよねぇ。そこで、「速さ」登場です。
小学生流に、家から駅までチャリで行く速さを求める時、
(速さ)=(進んだ距離)÷(経過時間)
ですよね？でもこれってあてになりませんよね？
だって、答えが時速20kmとか出ても、ずっとその速さで走ってますかね？まず、ありえないでしょう。車とかバイクとかのスピードメーターには使えないわけです。その「瞬間」の速さが知りたいので。

じゃあ、瞬間の速さを知りたかったらどうしましょう？
ってことで、経過時間をめっちゃ短くします。0.000001秒とか。
当然、その間に進む距離もめっちゃ短くなりますよね。これで速さを求めます。
(瞬間の速さ)=(0.000001秒で進んだ距離)÷(0.000001秒)
まあ、0.000001秒の間なら瞬間の速さって言っても差し支えないだろうって感じです。

今のは、「進んだ距離を時間で微分した」わけです。

うーん…こんな文章だけじゃわかりにくいかも…ごめんなさい。

回答No.2

noname#91219

おおおおおおおおっと誤植がありました。
＃１です。
誤）累乗の２を前に卸して、累乗は１つ下げるだけですよね。
正）累乗の３を前に卸して、・・・

回答No.1

noname#91219

もう記憶がかなり薄弱になっていますが、なんとか思い出してやってみます。
y＝(x^3-2x^2+5)^4
これを考える前に、f(x)=x^３の微分はできますか？累乗の２を前に卸して、累乗は１つ下げるだけですよね。つまりy=3x^2になります。
この問題は、（　）内をまずxと考えてください。すると、
y＝x^4
＝4x^3　・・・(1)
になります。それから、後付けで（　）内のそれぞれの項を微分します。
x^3-2x^2+5の微分は、3x^2-4xですから、これを(1)に後付けして、
y＝4x^3(3x^2-4x)となります。あとはこれを展開してください。
高校の時にもやらなかったのであれば、高校生向けの参考書（チャートなど）を買うのが最善の方法です。