微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt)

質問

微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt)
初めて質問させて頂きます。

a、ωは定数、x=x(t)として、2階の微分方程式x''=a*x*cos(ωt)が解けません。
初期条件をx(0)=x0, x'(0)=vx0としたとき、これには解析的な解はあるのでしょうか?

私なりに考えたのは、
x''=x*exp(iωt)
と拡張、s=exp(iωt)と変数変換 (x=x(s))して、
s*x''+x'+(a/ω^2)*x=0
s*x''+x'+k*x=0 (k=(a/w^2)と置く)
とし、最後は級数展開という方法...ですが自信がありません。

元の方程式が(見た目は)シンプルですので、もしかしたら解析的な解をご存知の方が
いらっしゃるかもしれないと思い質問させて頂いた次第です。

私は物理屋ですので、なるべく純粋数学的な表現は避けて頂けると幸いです。

よろしくお願い致します。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

あまり参考にならないかも知れませんが・・・、
x''=a*x*cos(ωt)
Mathieuの微分方程式が連想されます。

Mathieuの微分方程式、Mathieu関数辺りで調べられてみては如何でしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
実は他の質問版でも質問させて頂いており、そちらでもやはり
「Mahieuの微分方程式では?」
との回答を頂きました。私はそれを存じ上げませんでしたので、
昨日図書にて調べて無事、解の挙動(発散するのかしないのか)を
知ることができました。
ありがとうございました。

回答No.2

noname#252183

なるほど、確かに　http://www30.wolframalpha.com/input/　に、

d^2x/dt^2=a*x*cos(ω*t)

を入力して実行させると　Mathieu関数　とやらが出てきますね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
http://www30.wolframalpha.com/input/
という便利なサイトがあるのですね。確かに解はMathieu関数で
表されるようですね。ぜひブックマークしておきます。
ありがとうございました。