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微分方程式の問題1
分からないので教えてください kを定数とする。 微分方程式 du/dt =ku + k^2 -1 の任意の解がt→+∞の時に3/2に収束するようなkの値を求めよ
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出題者の意図が最終定理を使わせたいのかもしれないので一応書いておきます U(s)=∫(0≦t<∞)dt・u(t)・exp(-s・t)とすると s・U(s)-u(0)=k・U(s)+(k^2-1)/s 従って U(s)=u(0)/(s-k)+(k^2-1)/(s-k)/s 最終定理より k=0のとき u(∞)=lim(s→0)・s・U(s)=u(0)+(k^2-1)/(-k) k≠0のとき u(∞)=lim(s→0)・s・U(s)=(k^2-1)/(-k) u(0)は任意だからk≠0である 従って(k^2-1)/(-k)=3/2を求めれば良い
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- shota_TK
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変数分離して du/(ku+k^2-1)=dt これを積分すると・・・ -(1/k)ln[ku+k^2-1]=t e^(-kt)=ku+k^2-1 となりますから,t→+∞の時にu=3/2とすると 0=2k^2+3k-2 となりますので,これを解けばいいのかな?
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