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【逆三角関数についての問題です】
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＞ (-π/2 +π/4)< 4α < (π/2 +π/4) ＞ を示すということと同じですか？ さて、どうでしょう？ 結果的には、同じになるのですが。 No.2 に書いたのは、 tan x が -π/2 < x < π/2 で単調増加であることによって、 tan( (-π/2 +π/4)/4 ) < tan α < tan( (π/2 +π/4)/4 ) …[1] から (-π/2 +π/4)/4 < α < (π/2 +π/4)/4 …[2] が言える ～ということです。 [2] を変形すれば、 示すべき式 -π/2 < 4α-π/4 < π/2 になります。 この説明では、[2] の両端が -π/2 < (-π/2 +π/4)/4 < (π/2 +π/4)/4 < π/2 を満たしていることが効いています。 (-π/2 +π/4)< x < (π/2 +π/4) だと、tan x が単調でないから こうはいきません。 [1] を示すには、tan の加法定理(と半角公式)を使って、 tan( -π/8 +π/16 ) < 1/5 < tan( π/8 +π/16 ) を示せばよいですね。
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- arrysthmia
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＞ tan(-π/2+0) < tan(4α-π/4) < tan(π/2-0) であり ＞ かつ ＞ -π/2 < x < π/2 で tan(x)が単調増加関数であること ＞ を示さないといけないです。 ダメですね。 その方針では、-π/2 < 4α-π/4 < π/2 を示すことは できません。 必要なのは、(4α-π/4) / (π/2) の 小数部分ではなく、整数部分のほうの評価です。 見ているところが違います。 tan( (-π/2 +π/4)/4 ) < tan α < tan( (π/2 +π/4)/4 ) から (-π/2 +π/4)/4 < α < (π/2 +π/4)/4 を示してみては、どうですか？ このときは、tan の単調性が正しく役に立ちます。
お礼
回答ありがとうございます。 ＞tan( (-π/2 +π/4)/4 ) < tan α < tan( (π/2 +π/4)/4 ) ＞から ＞(-π/2 +π/4)/4 < α < (π/2 +π/4)/4 ＞を示してみては、どうですか？ (-π/2 +π/4)< 4α < (π/2 +π/4) を示すということと同じですか？
- info22
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> 2問目は tan(-π/2) < tan(4α-π/4) < tan(π/2)ということでは説明不足ですか？ ダメですね。 >・-π/2 < 4α-π < π/2を示せ とあるのに tan(4α-π/4) などですか？ 「4α-π」と「4α-π/4」のどちらが正しいですか？ お書きの「4α-π/4」なら tan(-π/2+0) < tan(4α-π/4) < tan(π/2-0) であり かつ -π/2 <x< π/2 で tan(x)が単調増加関数であること を示さないといけないです。 「4α-π」なら上のtanの( )内を入れ替えてください。 3問目 π/4<π/4+arctan(1/239)=4arctan(1/5)<π/3 を示す。 そのためには両辺のtanをとった 1<tan{π/4+arctan(1/239)}=tan{4arctan(1/5)}<√3 を示せばよい。 後はtan(2A)とtan(A+B)の展開公式を繰り返し、使いひたすら計算して tan{π/4+arctan(1/239)}=...=120/129 tan{4arctan(1/5)}=...=120/129 となることを示せば良い。
お礼
３番はやってみたところ，加法定理やら倍角の公式やらで解けました＾＾ ３番の式は結構有名な公式みたいですね…，初めて知りました。 回答どうもありがとうございました。
補足
-π/2 < 4α-π < π/2はタイプミスでした。 正しくは-π/2 < 4α-π/4 < π/2です。 やり方はだいたい理解できました。 ありがとうございます。 一回解いてみたいと思います。
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なるほど！ とっても分かりやすい説明だったので理解できました。 ２回も丁寧な回答どうもありがとうございました！