【逆三角関数についての問題です】

質問

・α = arctan1/5のとき，tan(4α-π/4)を求めよ
・-π/2 < 4α-π < π/2を示せ
・π/4 = 4arctan1/5 - arctan1/239を示せ

1問目は解けたんですが，2，3問目がいまいち分かりません…。
2問目は tan(-π/2) < tan(4α-π/4) < tan(π/2)ということでは説明不足ですか？

時間のある方，どれか1つでもいいので考え方やヒントを教えてください。
お願いします。

回答No.3

arrysthmia · ベストアンサー

＞ (-π/2 +π/4)< 4α < (π/2 +π/4)
＞ を示すということと同じですか？

さて、どうでしょう？
結果的には、同じになるのですが。

No.2 に書いたのは、
tan x が -π/2 < x < π/2 で単調増加であることによって、
tan( (-π/2 +π/4)/4 ) < tan α < tan( (π/2 +π/4)/4 )　…[1]
から
(-π/2 +π/4)/4 < α < (π/2 +π/4)/4　…[2]
が言える　～ということです。
[2] を変形すれば、
示すべき式　-π/2 < 4α-π/4 < π/2　になります。

この説明では、[2] の両端が
-π/2 < (-π/2 +π/4)/4 < (π/2 +π/4)/4 < π/2
を満たしていることが効いています。
(-π/2 +π/4)< x < (π/2 +π/4)　だと、tan x が単調でないから
こうはいきません。

[1] を示すには、tan の加法定理(と半角公式)を使って、
tan( -π/8 +π/16 ) < 1/5 < tan( π/8 +π/16 )
を示せばよいですね。

お礼

なるほど！
とっても分かりやすい説明だったので理解できました。
２回も丁寧な回答どうもありがとうございました！

回答No.2

arrysthmia

＞ tan(-π/2+0) < tan(4α-π/4) < tan(π/2-0)　であり
＞ かつ
＞ -π/2 < x < π/2　で tan(x)が単調増加関数であること
＞ を示さないといけないです。

ダメですね。
その方針では、-π/2 < 4α-π/4 < π/2 を示すことは
できません。
必要なのは、(4α-π/4) / (π/2) の
小数部分ではなく、整数部分のほうの評価です。
見ているところが違います。

tan( (-π/2 +π/4)/4 ) < tan α < tan( (π/2 +π/4)/4 )
から
(-π/2 +π/4)/4 < α < (π/2 +π/4)/4
を示してみては、どうですか？
このときは、tan の単調性が正しく役に立ちます。

お礼

回答ありがとうございます。

＞tan( (-π/2 +π/4)/4 ) < tan α < tan( (π/2 +π/4)/4 )
＞から
＞(-π/2 +π/4)/4 < α < (π/2 +π/4)/4
＞を示してみては、どうですか？

(-π/2 +π/4)< 4α < (π/2 +π/4)
を示すということと同じですか？

回答No.1

info22

> 2問目は tan(-π/2) < tan(4α-π/4) < tan(π/2)ということでは説明不足ですか？
ダメですね。
>・-π/2 < 4α-π < π/2を示せ
とあるのに　tan(4α-π/4) などですか？
「4α-π」と「4α-π/4」のどちらが正しいですか？

お書きの「4α-π/4」なら

tan(-π/2+0) < tan(4α-π/4) < tan(π/2-0)　であり
かつ
-π/2 <x< π/2　で tan(x)が単調増加関数であること
を示さないといけないです。
「4α-π」なら上のtanの( )内を入れ替えてください。

3問目
π/4<π/4+arctan(1/239)=4arctan(1/5)<π/3
を示す。
そのためには両辺のtanをとった
1<tan{π/4+arctan(1/239)}=tan{4arctan(1/5)}<√3
を示せばよい。
後はtan(2A)とtan(A+B)の展開公式を繰り返し、使いひたすら計算して
tan{π/4+arctan(1/239)}=...=120/129
tan{4arctan(1/5)}=...=120/129
となることを示せば良い。

お礼

３番はやってみたところ，加法定理やら倍角の公式やらで解けました＾＾
３番の式は結構有名な公式みたいですね…，初めて知りました。
回答どうもありがとうございました。

補足

-π/2 < 4α-π < π/2はタイプミスでした。
正しくは-π/2 < 4α-π/4 < π/2です。

やり方はだいたい理解できました。
ありがとうございます。
一回解いてみたいと思います。