弧連結とは？

質問

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93

集合Xが連結であり、且つ局所連結であるとき、弧状連結になるそうなのですが、
局所連結の意味がよく分かりません。

上記のページでは、sin(1/x) のグラフ（topologist's sine curve; 位相幾何学者の正弦曲線）は連結だが弧状連結でない位相空間の例として挙げることができる、と書かれてあるのですが、
sin(1/x)はなぜ局所連結ではない、ということが分かるのでしょうか？
どなたか易しく教えて下さい。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

いわゆる「位相幾何学者の正弦曲線」ってのは
「y=sin(1/x)のグラフ」では定義が甘すぎます．
だって「グラフ」だったら
{(x,sin(1/x)) | xは0ではない}
だけども，これは連結じゃない．x>0にしたら
連結だし，さらに弧状連結だし，弧連結でもあるのは自明．
もちろん局所連結だし，局所弧状連結でもある．

Wikipediaでいってるのは，正確には
{(x,sin(1/x)) | 0<x<1}∪{(0,y)|-1<y<1}
という集合でしょう．
（0<x<1ってのは1である必要もないんだけど，これで十分）．
これをXと表現しておきます．

Xが局所連結でないことは，点(0,b) (-1<b<1)なる点の近傍を
考えればほとんど自明．
なぜなら，(0,b)の任意の近傍には
(a,sin(1/a)) (0<a)が存在する．
＃直観的には明らか．b=sin(A)を満たすA>0が存在する
＃sinの周期性よりもっと大きなAはいくらでも大きな値をとれる
＃したがって，a=1/Aとおけば，いくらでもa>0を小さくとれる
＃したがって，(a,sin(1/a)を(0,b)の任意の近傍にとれる
Xでの(0,b)の近傍と(a,sin(a/b))の近傍は決して交わることはない．
つまり，Xの開集合は必ずしも連結とは限らない．

Xが連結であることの証明は
空ではない開集合U，Vで U∪V=X，U∩V=φとおくことからスタート
X1={(x,sin(1/x)) | 0<x<1}
X2={(0,y)|-1<y<1}としておく．
X2=(X2∩U)∪(X2∩V)
(X2∩U)∩(X2∩V)=φ
X2は連結であることから，
X2∩U，X2∩Vのどちらか一方は空集合．
したがって，
X2⊂Uと仮定してよい．
このとき，同様にしてX1⊂Vとできる．
したがって，U∩X1⊂U∩V=φ
一方，UにはX1の点も必ず含まれるのでこれは矛盾
だから連結

Xが弧状連結ではないことは
X2の点とX1の点がパスでは結べないことから明らかでしょう

お礼

回答ありがとうございます。

>Xでの(0,b)の近傍と(a,sin(a/b))の近傍は決して交わることはない．

でもここの部分だけがよく分かりませんでした。

なぜ、決して交わることがない、といえるのですか？
まっすぐx=0とx=aに線を引けば良いのではないのでしょうか？
それともsin(1/x)の曲線でx=0とx=aの間の長さが∞であるということからいえることなのでしょうか？

位相空間であれば、ある点と点の連結であるかどうかは目で見て分かりますが、こういった関数の場合にはどう解釈すれば良いのでしょうか？

回答No.2

kabaokaba

>まっすぐx=0とx=aに線を引けば良いのではないのでしょうか？
>それともsin(1/x)の曲線でx=0とx=aの間の長さが∞であるということからいえることなのでしょうか？

違います．「Xでの」と断っているように
(0,b)のR^2での近傍とXの共通部分が
「Xでの(0,b)の近傍」です．
どんなに小さいR^2の近傍をとっても
かならずそこには(a,sin(1/a))が存在します．
そして，その(a,sin(1/a))はその「グラフ」がつながっています．
(a,sin(1/a))のXでの近傍は，そのグラフの一部分です．
その「グラフの一部分」が(0,b)の（もっと小さな）近傍と
「離れてしまう」ので，局所連結ではないのです．
ポイントは，(0,b)の近傍は「グラフの部分」を含むのに
(a,sin(1/a))の近傍は「グラフの枝だけ」を含むようにできる
ことです．
ざっくり絵を描いてみるとわかると思います．

>位相空間であれば、ある点と点の連結であるかどうかは目で見て分かりますが、こういった関数の場合にはどう解釈すれば良いのでしょうか？

これも違います．
位相空間はたいていは「目に見えません」し
今回の「グラフ」も位相空間です．
また連結性は「点と点」の概念ではありません．
空間そのものの概念です．
連結性はある意味「領域の概念」といえます．