Euclid空間が単連結であることについて

質問

基本群について質問です．

n次元Euclid空間R^nが単連結であることを示したいのですが，そのためには
(i)R^nが弧状連結
(ii)基本群Π(R^n)={e}
を示せばいいのですよね．

(i)はほぼ明らかなのでいいのですが，
(ii)がちょっとよくわかりません．

これを示すためにまず，以下の命題を示しました．
X,Y：位相空間で，x∈X, y∈Yとする．ｋのとき，
Π(X×Y,(x,y))≒Π(X,x)×Π(Y,y) （≒は同型を意味）

これを用いると
Π(R^n)=Π(R×R×…×R)≒Π(R)×Π(R)×…×Π(R)
が成り立ちます．

一方，x∈Rを固定したとき，xを基点とするR上の曲線は
全てこの一点にホモトピックであることから，
Π(R)={e}

よって，
Π(R^n)≒{e}×{e}×…{e}={e}
となったのですが，これはΠ(R^n)が単位群と"同型"なのであって，
Π(R^n)={e}ではないですよね？
示したい(ii)はΠ(R^n)={e}だと思うのですが，どこがおかしかったのでしょうか？

ご教授お願いしいたします．

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>どこがおかしかったのでしょうか？

端的にいってしまえば

>これはΠ(R^n)が単位群と"同型"なのであって，
>Π(R^n)={e}ではないですよね？

という風に考えることがおかしい．
単位群と同型な群は単位群．
群が等しいとは集合として等しいことを意味しない．

ちなみに

>xを基点とするR上の曲線は全てこの一点にホモトピックであることから，

なんで，R^nの閉曲線そのもので考えないのかな？