弧状連結を示す問題

質問

多様体の問題で分からない問題があったので教えてください。

3次元ユークリッド空間の部分集合
M＝ ｛ （x,y,z）| z^2 = 1- xy ｝
を考えます。

これが弧状連結である事を示せ。
というのが問題です。

その前の小問でこれが2次元多様体である事は分かっています。
そこで連結性を示せばよいのかと思いましたが、どうやればいいのか分かりません。
弧状連結の定義に戻って2点を繋ぐ曲線を考えようとしましたが上手くできません…

分かる方いましたら回答お願いします。

回答No.2

alice_44

z^2 + (1/4)(x+y)^2 - (1/4)(x-y)^2 = 1
と変形してみれば、一葉双曲面↓であることが判りますね。
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Quadric_Hyperboloid_1.jpg/120px-Quadric_Hyperboloid_1.jpg

x-y の値を変えない経路で、曲面上を
z : x+y の比が他方の点と同じになるところまで移動し、
そこがゴールでなければ、
z : x+y の比を変えない経路で、曲面上を
x-y の値が他方の点と同じになるところまで移動すれば、
曲面上の任意の２点を孤連結することができますよ。

回答No.1

tmpname

正直にA=(x0,y0,z0), B=(x1,y1,z1)∈Mとして、
AとBとを結ぶ道を探せばよいです

1.まずAからx座標を固定し、z座標の符号を変えないように
y座標を0まで移動します。z0が元々0だった場合は動かすとき
z座標の符号を決めて動かします（これが出来るのは何故か？）
ここで、AがCに移動したとします

2. Bについても同様に動かし、Dに移動したとします

3a CとDのz座標の符号が同じ場合は、Cからx座標を動かして
Dまで移動させればいいです。

3b.z座標の符号が違う時は、
3ba先ずCのx座標が0の場合は、x座標を適当に少し動かします
3bb次にCのy座標を、x座標と同じ符号の方向で絶対値が大きく
なる方向に、z座標が0になるまで動かします
3bc次に再びy座標を0まで動かしますが、今度は3bの最初の時と
z座標の符号が反対になるようにします。
4bdそして3aの場合に戻ればよいです

とここまで書いて、最初からz0とz1の符号が同じか違うかに
分けて書いた方が楽だったことに気づきましたが、後はきれいに
まとめてください。